Производная tan(2*x-pi/3)

1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

   $\tan{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)} = \frac{\sin{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)}}{\cos{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)}}$

2. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = 2 x - \frac{\pi}{3}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(2 x - \frac{\pi}{3}\right)$:

      1. дифференцируем $2 x - \frac{\pi}{3}$ почленно:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $2$

         2. Производная постоянной $- \frac{\pi}{3}$ равна нулю.

         В результате: $2$

      В результате последовательности правил:

      $2 \cos{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = 2 x - \frac{\pi}{3}$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(2 x - \frac{\pi}{3}\right)$:

      1. дифференцируем $2 x - \frac{\pi}{3}$ почленно:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $2$

         2. Производная постоянной $- \frac{\pi}{3}$ равна нулю.

         В результате: $2$

      В результате последовательности правил:

      $- 2 \sin{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{2 \sin^{2}{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)}}$

3. Теперь упростим:

   $\frac{2}{\sin^{2}{\left(2 x + \frac{\pi}{6} \right)}}$

Ответ:

$\frac{2}{\sin^{2}{\left(2 x + \frac{\pi}{6} \right)}}$