Производная tan((pi/4)-x)

Решение

Вы ввели [src]

   /pi    \
tan|-- - x|
   \4     /

$$\tan{\left(- x + \frac{\pi}{4} \right)}$$

d /   /pi    \\
--|tan|-- - x||
dx\   \4     //

$$\frac{d}{d x} \tan{\left(- x + \frac{\pi}{4} \right)}$$

Преобразовать

Подробное решение

Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

$\tan{\left(- x + \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{\cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}$
Применим правило производной частного:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$ .

Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Заменим $u = x + \frac{\pi}{4}$ .
2. Производная косинус есть минус синус:
  
  $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ :
  1. дифференцируем $x + \frac{\pi}{4}$ почленно:
    1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
    2. Производная постоянной $\frac{\pi}{4}$ равна нулю.
    В результате: $1$
  В результате последовательности правил:
  
  $- \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$
Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Заменим $u = x + \frac{\pi}{4}$ .
2. Производная синуса есть косинус:
  
  $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ :
  1. дифференцируем $x + \frac{\pi}{4}$ почленно:
    1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
    2. Производная постоянной $\frac{\pi}{4}$ равна нулю.
    В результате: $1$
  В результате последовательности правил:
  
  $\cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$
Теперь применим правило производной деления:

$\frac{- \sin^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} - \cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{\sin^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}$
Теперь упростим:

$- \frac{2}{\sin{\left(2 x \right)} + 1}$

Ответ:

$- \frac{2}{\sin{\left(2 x \right)} + 1}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

        2/pi    \
-1 - tan |-- - x|
         \4     /

$$- \tan^{2}{\left(- x + \frac{\pi}{4} \right)} - 1$$

Упростить

Вторая производная [src]

  /       2/    pi\\    /    pi\
2*|1 + cot |x + --||*cot|x + --|
  \        \    4 //    \    4 /

$$2 \left(\cot^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + 1\right) \cot{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$$

Упростить

Третья производная [src]

   /       2/    pi\\ /         2/    pi\\
-2*|1 + cot |x + --||*|1 + 3*cot |x + --||
   \        \    4 // \          \    4 //

$$- 2 \left(\cot^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + 1\right)$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная tan((pi/4)-x)

График:

Кусочно-заданная:

Решение