Производная sin(x^5+x)

1. Заменим $u = x^{5} + x$.

2. Производная синуса есть косинус:

   $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x^{5} + x\right)$:

   1. дифференцируем $x^{5} + x$ почленно:

      1. В силу правила, применим: $x^{5}$ получим $5 x^{4}$

      2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      В результате: $5 x^{4} + 1$

   В результате последовательности правил:

   $\left(5 x^{4} + 1\right) \cos{\left(x^{5} + x \right)}$

4. Теперь упростим:

   $\left(5 x^{4} + 1\right) \cos{\left(x^{5} + x \right)}$

Ответ:

$\left(5 x^{4} + 1\right) \cos{\left(x^{5} + x \right)}$