Производная (sin(x)^2)*2*x

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      $g{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = \sin{\left(x \right)}$.

      2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         В результате последовательности правил:

         $2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

      В результате: $2 x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin^{2}{\left(x \right)}$

   Таким образом, в результате: $4 x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 2 \sin^{2}{\left(x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $2 x \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)} + 1$

Ответ:

$2 x \sin{\left(2 x \right)} - \cos{\left(2 x \right)} + 1$