Производная sin(x)^4-cos(x)^4

1. дифференцируем $\sin^{4}{\left(x \right)} - \cos^{4}{\left(x \right)}$ почленно:

   1. Заменим $u = \sin{\left(x \right)}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{4}$ получим $4 u^{3}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      В результате последовательности правил:

      $4 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   4. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = \cos{\left(x \right)}$.

      2. В силу правила, применим: $u^{4}$ получим $4 u^{3}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}$:

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         В результате последовательности правил:

         $- 4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}$

      Таким образом, в результате: $4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}$

   В результате: $4 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $2 \sin{\left(2 x \right)}$

Ответ:

$2 \sin{\left(2 x \right)}$