Производная sin(x)*cos(3*x)+cos(4*x)*sin(3*x)

1. дифференцируем $\sin{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(4 x \right)}$ почленно:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      $g{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = 3 x$.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 3 x$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $3$

         В результате последовательности правил:

         $- 3 \sin{\left(3 x \right)}$

      В результате: $- 3 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)}$

   2. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = 4 x$.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 4 x$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $4$

         В результате последовательности правил:

         $- 4 \sin{\left(4 x \right)}$

      $g{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = 3 x$.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 3 x$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $3$

         В результате последовательности правил:

         $3 \cos{\left(3 x \right)}$

      В результате: $- 4 \sin{\left(3 x \right)} \sin{\left(4 x \right)} + 3 \cos{\left(3 x \right)} \cos{\left(4 x \right)}$

   В результате: $- 3 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(3 x \right)} - 4 \sin{\left(3 x \right)} \sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + 3 \cos{\left(3 x \right)} \cos{\left(4 x \right)}$

Ответ:

$- 3 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(3 x \right)} - 4 \sin{\left(3 x \right)} \sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + 3 \cos{\left(3 x \right)} \cos{\left(4 x \right)}$