Производная sin(x)+(1/2)*cos(2*x)

1. дифференцируем $\sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$ почленно:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = 2 x$.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 2 x$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $2$

         В результате последовательности правил:

         $- 2 \sin{\left(2 x \right)}$

      Таким образом, в результате: $- \sin{\left(2 x \right)}$

   В результате: $- \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

Ответ:

$- \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}$