Производная (sin(x)+cos(x))^8

1. Заменим $u = \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$.

2. В силу правила, применим: $u^{8}$ получим $8 u^{7}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)$:

   1. дифференцируем $\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$ почленно:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      В результате: $- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

   В результате последовательности правил:

   $8 \left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{7}$

4. Теперь упростим:

   $8 \left(\sin{\left(2 x \right)} + 1\right)^{3} \cos{\left(2 x \right)}$

Ответ:

$8 \left(\sin{\left(2 x \right)} + 1\right)^{3} \cos{\left(2 x \right)}$