Господин Экзамен

Lang:

Производная функции/ sin(x/2)^2

Производная sin(x/2)^2

Решение

Вы ввели [src]

   2/x\
sin |-|
    \2/

$$\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}$$

d /   2/x\\
--|sin |-||
dx\    \2//

$$\frac{d}{d x} \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}$$

Преобразовать

Подробное решение

Заменим $u = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$ .
В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$
Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$ :
1. Заменим $u = \frac{x}{2}$ .
2. Производная синуса есть косинус:
  
  $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$ :
  1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
    1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
    Таким образом, в результате: $\frac{1}{2}$
  В результате последовательности правил:
  
  $\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$
В результате последовательности правил:

$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$
Теперь упростим:

$\frac{\sin{\left(x \right)}}{2}$

Ответ:

$\frac{\sin{\left(x \right)}}{2}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

   /x\    /x\
cos|-|*sin|-|
   \2/    \2/

$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$$

Упростить

Вторая производная [src]

   2/x\      2/x\
cos |-| - sin |-|
    \2/       \2/
-----------------
        2

$$\frac{- \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$$

Упростить

Третья производная [src]

    /x\    /x\
-cos|-|*sin|-|
    \2/    \2/

$$- \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$$

Упростить

График

Производная sin(x/2)^2