Производная sin(x/4)^(5)

1. Заменим $u = \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}$.

2. В силу правила, применим: $u^{5}$ получим $5 u^{4}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}$:

   1. Заменим $u = \frac{x}{4}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{4}$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $\frac{1}{4}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\cos{\left(\frac{x}{4} \right)}}{4}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{5 \sin^{4}{\left(\frac{x}{4} \right)} \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}}{4}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{5 \sin^{4}{\left(\frac{x}{4} \right)} \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}}{4}$

Ответ:

$\frac{5 \sin^{4}{\left(\frac{x}{4} \right)} \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}}{4}$