Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Производная:
Производная e^x*cos(x)
Производная 1/x+4*x
Производная -1/(x^2)
Производная 2*e^(2*x)-10*e^x+8
Идентичные выражения
sin((один + три *x)/(один +x^ два)^(один / два))
синус от ((1 плюс 3 умножить на x) делить на (1 плюс x в квадрате ) в степени (1 делить на 2))
синус от ((один плюс три умножить на x) делить на (один плюс x в степени два) в степени (один делить на два))
sin((1+3*x)/(1+x2)(1/2))
sin1+3*x/1+x21/2
sin((1+3*x)/(1+x²)^(1/2))
sin((1+3*x)/(1+x в степени 2) в степени (1/2))
sin((1+3x)/(1+x^2)^(1/2))
sin((1+3x)/(1+x2)(1/2))
sin1+3x/1+x21/2
sin1+3x/1+x^2^1/2
sin((1+3*x) разделить на (1+x^2)^(1 разделить на 2))
Похожие выражения
sin((1-3*x)/(1+x^2)^(1/2))
sin((1+3*x)/(1-x^2)^(1/2))

Производная функции/ sin((1+3*x)/(1+x^2)^(1/2))

Производная sin((1+3*x)/(1+x^2)^(1/2))

Решение

Вы ввели [src]

   /  1 + 3*x  \
sin|-----------|
   |   ________|
   |  /      2 |
   \\/  1 + x  /

$$\sin{\left(\frac{3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 1}} \right)}$$

d /   /  1 + 3*x  \\
--|sin|-----------||
dx|   |   ________||
  |   |  /      2 ||
  \   \\/  1 + x  //

$$\frac{d}{d x} \sin{\left(\frac{3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 1}} \right)}$$

Преобразовать

Подробное решение

Заменим $u = \frac{3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .
Производная синуса есть косинус:

$\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ :
1. Применим правило производной частного:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = 3 x + 1$ и $g{\left(x \right)} = \sqrt{x^{2} + 1}$ .
  
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. дифференцируем $3 x + 1$ почленно:
    1. Производная постоянной $1$ равна нулю.
    2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      Таким образом, в результате: $3$
    В результате: $3$
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Заменим $u = x^{2} + 1$ .
  2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$
  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 1\right)$ :
    1. дифференцируем $x^{2} + 1$ почленно:
      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.
      2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$
      В результате: $2 x$
    В результате последовательности правил:
    
    $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$
  Теперь применим правило производной деления:
  
  $\frac{- \frac{x \left(3 x + 1\right)}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 3 \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$
В результате последовательности правил:

$\frac{\left(- \frac{x \left(3 x + 1\right)}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 3 \sqrt{x^{2} + 1}\right) \cos{\left(\frac{3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 1}} \right)}}{x^{2} + 1}$
Теперь упростим:

$\frac{\left(3 - x\right) \cos{\left(\frac{3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 1}} \right)}}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$

Ответ:

$\frac{\left(3 - x\right) \cos{\left(\frac{3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 1}} \right)}}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

/     3        x*(1 + 3*x)\    /  1 + 3*x  \
|----------- - -----------|*cos|-----------|
|   ________           3/2|    |   ________|
|  /      2    /     2\   |    |  /      2 |
\\/  1 + x     \1 + x /   /    \\/  1 + x  /

$$\left(- \frac{x \left(3 x + 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right) \cos{\left(\frac{3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 1}} \right)}$$

Упростить

Вторая производная [src]

 /                  2                    /             2          \                 \
 |/     x*(1 + 3*x)\     /  1 + 3*x  \   |          3*x *(1 + 3*x)|    /  1 + 3*x  \|
 ||-3 + -----------| *sin|-----------|   |1 + 9*x - --------------|*cos|-----------||
 ||             2  |     |   ________|   |                   2    |    |   ________||
 |\        1 + x   /     |  /      2 |   \              1 + x     /    |  /      2 ||
 |                       \\/  1 + x  /                                 \\/  1 + x  /|
-|------------------------------------ + -------------------------------------------|
 |                    2                                          3/2                |
 |               1 + x                                   /     2\                   |
 \                                                       \1 + x /                   /

$$- (\frac{\left(\frac{x \left(3 x + 1\right)}{x^{2} + 1} - 3\right)^{2} \sin{\left(\frac{3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 1}} \right)}}{x^{2} + 1} + \frac{\left(- \frac{3 x^{2} \cdot \left(3 x + 1\right)}{x^{2} + 1} + 9 x + 1\right) \cos{\left(\frac{3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 1}} \right)}}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}})$$

Упростить

Третья производная [src]

                  3                      /        2                       3          \                                         /             2          \                 
/     x*(1 + 3*x)\     /  1 + 3*x  \     |     9*x     3*x*(1 + 3*x)   5*x *(1 + 3*x)|    /  1 + 3*x  \     /     x*(1 + 3*x)\ |          3*x *(1 + 3*x)|    /  1 + 3*x  \
|-3 + -----------| *cos|-----------|   3*|3 - ------ - ------------- + --------------|*cos|-----------|   3*|-3 + -----------|*|1 + 9*x - --------------|*sin|-----------|
|             2  |     |   ________|     |         2            2                2   |    |   ________|     |             2  | |                   2    |    |   ________|
\        1 + x   /     |  /      2 |     |    1 + x        1 + x         /     2\    |    |  /      2 |     \        1 + x   / \              1 + x     /    |  /      2 |
                       \\/  1 + x  /     \                               \1 + x /    /    \\/  1 + x  /                                                      \\/  1 + x  /
------------------------------------ - ---------------------------------------------------------------- - ----------------------------------------------------------------
                    3/2                                                  3/2                                                                 2                            
            /     2\                                             /     2\                                                            /     2\                             
            \1 + x /                                             \1 + x /                                                            \1 + x /

$$- \frac{3 \left(\frac{x \left(3 x + 1\right)}{x^{2} + 1} - 3\right) \left(- \frac{3 x^{2} \cdot \left(3 x + 1\right)}{x^{2} + 1} + 9 x + 1\right) \sin{\left(\frac{3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 1}} \right)}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{\left(\frac{x \left(3 x + 1\right)}{x^{2} + 1} - 3\right)^{3} \cos{\left(\frac{3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 1}} \right)}}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 \cdot \left(\frac{5 x^{3} \cdot \left(3 x + 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{9 x^{2}}{x^{2} + 1} - \frac{3 x \left(3 x + 1\right)}{x^{2} + 1} + 3\right) \cos{\left(\frac{3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 1}} \right)}}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная sin((1+3*x)/(1+x^2)^(1/2))

График:

Кусочно-заданная:

Решение