Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Производная:
Производная x^3*log(x)
Производная tan(3*x)^(4)
Производная (x^3)/(2*x+4)
Производная sqrt(1+sin(6*x)^(2))
Идентичные выражения
sin(cot(три *x))^(три)
синус от ( котангенс от (3 умножить на x)) в степени (3)
синус от ( котангенс от (три умножить на x)) в степени (три)
sin(cot(3*x))(3)
sincot3*x3
sin(cot(3x))^(3)
sin(cot(3x))(3)
sincot3x3
sincot3x^3

Производная функции/ sin(cot(3*x))^(3)

Производная sin(cot(3*x))^(3)

Решение

Вы ввели [src]

   3          
sin (cot(3*x))

$$\sin^{3}{\left(\cot{\left(3 x \right)} \right)}$$

d /   3          \
--\sin (cot(3*x))/
dx

$$\frac{d}{d x} \sin^{3}{\left(\cot{\left(3 x \right)} \right)}$$

Преобразовать

Подробное решение

Заменим $u = \sin{\left(\cot{\left(3 x \right)} \right)}$ .
В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$
Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(\cot{\left(3 x \right)} \right)}$ :
1. Заменим $u = \cot{\left(3 x \right)}$ .
2. Производная синуса есть косинус:
  
  $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left(3 x \right)}$ :
  1. Есть несколько способов вычислить эту производную.
    Method #1
    1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
      
      $\cot{\left(3 x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(3 x \right)}}$
    2. Заменим $u = \tan{\left(3 x \right)}$ .
    3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$
    4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(3 x \right)}$ :
      
      Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
      
      $\tan{\left(3 x \right)} = \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\cos{\left(3 x \right)}}$
      
      Применим правило производной частного:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}$ .
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      Заменим $u = 3 x$ .
      
      Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
      
      Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 3 x$ :
      
      Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      
      В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      
      Таким образом, в результате: $3$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $3 \cos{\left(3 x \right)}$
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      Заменим $u = 3 x$ .
      
      Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
      
      Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 3 x$ :
      
      Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      
      В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      
      Таким образом, в результате: $3$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $- 3 \sin{\left(3 x \right)}$
      
      Теперь применим правило производной деления:
      
      $\frac{3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $- \frac{3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)} \tan^{2}{\left(3 x \right)}}$
    Method #2
    1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
      
      $\cot{\left(3 x \right)} = \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}$
    2. Применим правило производной частного:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}$ .
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      Заменим $u = 3 x$ .
      
      Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
      
      Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 3 x$ :
      
      Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      
      В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      
      Таким образом, в результате: $3$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $- 3 \sin{\left(3 x \right)}$
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      Заменим $u = 3 x$ .
      
      Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
      
      Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 3 x$ :
      
      Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      
      В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      
      Таким образом, в результате: $3$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $3 \cos{\left(3 x \right)}$
      
      Теперь применим правило производной деления:
      
      $\frac{- 3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} - 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}}{\sin^{2}{\left(3 x \right)}}$
  В результате последовательности правил:
  
  $- \frac{\left(3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}\right) \cos{\left(\cot{\left(3 x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)} \tan^{2}{\left(3 x \right)}}$
В результате последовательности правил:

$- \frac{3 \cdot \left(3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}\right) \sin^{2}{\left(\cot{\left(3 x \right)} \right)} \cos{\left(\cot{\left(3 x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)} \tan^{2}{\left(3 x \right)}}$
Теперь упростим:

$- \frac{9 \sin^{2}{\left(\frac{1}{\tan{\left(3 x \right)}} \right)} \cos{\left(\frac{1}{\tan{\left(3 x \right)}} \right)}}{\sin^{2}{\left(3 x \right)}}$

Ответ:

$- \frac{9 \sin^{2}{\left(\frac{1}{\tan{\left(3 x \right)}} \right)} \cos{\left(\frac{1}{\tan{\left(3 x \right)}} \right)}}{\sin^{2}{\left(3 x \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

     2           /          2     \              
3*sin (cot(3*x))*\-3 - 3*cot (3*x)/*cos(cot(3*x))

$$3 \left(- 3 \cot^{2}{\left(3 x \right)} - 3\right) \sin^{2}{\left(\cot{\left(3 x \right)} \right)} \cos{\left(\cot{\left(3 x \right)} \right)}$$

Упростить

Вторая производная [src]

   /       2     \ /     2           /       2     \        2           /       2     \                                         \              
27*\1 + cot (3*x)/*\- sin (cot(3*x))*\1 + cot (3*x)/ + 2*cos (cot(3*x))*\1 + cot (3*x)/ + 2*cos(cot(3*x))*cot(3*x)*sin(cot(3*x))/*sin(cot(3*x))

$$27 \left(\cot^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right) \left(- \left(\cot^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right) \sin^{2}{\left(\cot{\left(3 x \right)} \right)} + 2 \left(\cot^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right) \cos^{2}{\left(\cot{\left(3 x \right)} \right)} + 2 \sin{\left(\cot{\left(3 x \right)} \right)} \cos{\left(\cot{\left(3 x \right)} \right)} \cot{\left(3 x \right)}\right) \sin{\left(\cot{\left(3 x \right)} \right)}$$

Упростить

Третья производная [src]

                   /                   2                                                                                                                                                                           2                                                                                        \
   /       2     \ |    /       2     \     3                  2         2                                2           /       2     \                      3           /       2     \              /       2     \     2                                 2           /       2     \                       |
81*\1 + cot (3*x)/*\- 2*\1 + cot (3*x)/ *cos (cot(3*x)) - 4*cot (3*x)*sin (cot(3*x))*cos(cot(3*x)) - 2*sin (cot(3*x))*\1 + cot (3*x)/*cos(cot(3*x)) + 6*sin (cot(3*x))*\1 + cot (3*x)/*cot(3*x) + 7*\1 + cot (3*x)/ *sin (cot(3*x))*cos(cot(3*x)) - 12*cos (cot(3*x))*\1 + cot (3*x)/*cot(3*x)*sin(cot(3*x))/

$$81 \left(\cot^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right) \left(7 \left(\cot^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right)^{2} \sin^{2}{\left(\cot{\left(3 x \right)} \right)} \cos{\left(\cot{\left(3 x \right)} \right)} - 2 \left(\cot^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right)^{2} \cos^{3}{\left(\cot{\left(3 x \right)} \right)} + 6 \left(\cot^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right) \sin^{3}{\left(\cot{\left(3 x \right)} \right)} \cot{\left(3 x \right)} - 12 \left(\cot^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right) \sin{\left(\cot{\left(3 x \right)} \right)} \cos^{2}{\left(\cot{\left(3 x \right)} \right)} \cot{\left(3 x \right)} - 4 \sin^{2}{\left(\cot{\left(3 x \right)} \right)} \cos{\left(\cot{\left(3 x \right)} \right)} \cot^{2}{\left(3 x \right)} - 2 \left(\cot^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right) \sin^{2}{\left(\cot{\left(3 x \right)} \right)} \cos{\left(\cot{\left(3 x \right)} \right)}\right)$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Производная sin(cot(3*x))^(3)

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Method #1

Method #2