Производная sin(exp(x)/cos(x))

Решение

Вы ввели [src]

   /   x  \
   |  e   |
sin|------|
   \cos(x)/

$$\sin{\left(\frac{e^{x}}{\cos{\left(x \right)}} \right)}$$

  /   /   x  \\
d |   |  e   ||
--|sin|------||
dx\   \cos(x)//

$$\frac{d}{d x} \sin{\left(\frac{e^{x}}{\cos{\left(x \right)}} \right)}$$

Преобразовать

Подробное решение

Заменим $u = \frac{e^{x}}{\cos{\left(x \right)}}$ .
Производная синуса есть косинус:

$\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{e^{x}}{\cos{\left(x \right)}}$ :
1. Применим правило производной частного:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = e^{x}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
  
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Производная $e^{x}$ само оно.
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Производная косинус есть минус синус:
    
    $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
  Теперь применим правило производной деления:
  
  $\frac{e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
В результате последовательности правил:

$\frac{\left(e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(\frac{e^{x}}{\cos{\left(x \right)}} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
Теперь упростим:

$\frac{\sqrt{2} e^{x} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} \cos{\left(\frac{e^{x}}{\cos{\left(x \right)}} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

Ответ:

$\frac{\sqrt{2} e^{x} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} \cos{\left(\frac{e^{x}}{\cos{\left(x \right)}} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

/   x      x       \    /   x  \
|  e      e *sin(x)|    |  e   |
|------ + ---------|*cos|------|
|cos(x)       2    |    \cos(x)/
\          cos (x) /

$$\left(\frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{e^{x}}{\cos{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(\frac{e^{x}}{\cos{\left(x \right)}} \right)}$$

Упростить

Вторая производная [src]

/                                                   2       /   x  \\   
|                                       /    sin(x)\   x    |  e   ||   
|  /                2   \    /   x  \   |1 + ------| *e *sin|------||   
|  |    sin(x)   sin (x)|    |  e   |   \    cos(x)/        \cos(x)/|  x
|2*|1 + ------ + -------|*cos|------| - ----------------------------|*e 
|  |    cos(x)      2   |    \cos(x)/              cos(x)           |   
\  \             cos (x)/                                           /   
------------------------------------------------------------------------
                                 cos(x)

$$\frac{\left(- \frac{\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + 1\right)^{2} e^{x} \sin{\left(\frac{e^{x}}{\cos{\left(x \right)}} \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + 2 \left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + 1\right) \cos{\left(\frac{e^{x}}{\cos{\left(x \right)}} \right)}\right) e^{x}}{\cos{\left(x \right)}}$$

Упростить

Третья производная [src]

/                                                                                                       /                2   \       /   x  \\   
|                                                                   3    /   x  \          /    sin(x)\ |    sin(x)   sin (x)|  x    |  e   ||   
|                                                       /    sin(x)\     |  e   |  2*x   6*|1 + ------|*|1 + ------ + -------|*e *sin|------||   
|  /         3           2              \    /   x  \   |1 + ------| *cos|------|*e        \    cos(x)/ |    cos(x)      2   |       \cos(x)/|   
|  |    3*sin (x)   3*sin (x)   4*sin(x)|    |  e   |   \    cos(x)/     \cos(x)/                       \             cos (x)/               |  x
|2*|2 + --------- + --------- + --------|*cos|------| - ------------------------------ - ----------------------------------------------------|*e 
|  |        3           2        cos(x) |    \cos(x)/                 2                                         cos(x)                       |   
\  \     cos (x)     cos (x)            /                          cos (x)                                                                   /   
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                      cos(x)

$$\frac{\left(- \frac{\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + 1\right)^{3} e^{2 x} \cos{\left(\frac{e^{x}}{\cos{\left(x \right)}} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{6 \left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + 1\right) \left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + 1\right) e^{x} \sin{\left(\frac{e^{x}}{\cos{\left(x \right)}} \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + 2 \cdot \left(\frac{3 \sin^{3}{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}} + \frac{3 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{4 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + 2\right) \cos{\left(\frac{e^{x}}{\cos{\left(x \right)}} \right)}\right) e^{x}}{\cos{\left(x \right)}}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная sin(exp(x)/cos(x))

График:

Кусочно-заданная:

Решение