Производная sin(2*x)/(2*x)

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = 2 x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = 2 x$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 2 x$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $2$

      В результате последовательности правил:

      $2 \cos{\left(2 x \right)}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Таким образом, в результате: $2$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{4 x \cos{\left(2 x \right)} - 2 \sin{\left(2 x \right)}}{4 x^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x \cos{\left(2 x \right)} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}}{x^{2}}$

Ответ:

$\frac{x \cos{\left(2 x \right)} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}}{x^{2}}$