Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Производная:
Производная sqrt(x)+1
Производная (sin(4*x))^2
Производная tan(3*x-pi/4)
Производная x^15
Идентичные выражения
шесть *tan(x)/cos(x)^(четыре)*(sin(x)^(два)+ один)
6 умножить на тангенс от (x) делить на косинус от (x) в степени (4) умножить на ( синус от (x) в степени (2) плюс 1)
шесть умножить на тангенс от (x) делить на косинус от (x) в степени (четыре) умножить на ( синус от (x) в степени (два) плюс один)
6*tan(x)/cos(x)(4)*(sin(x)(2)+1)
6*tanx/cosx4*sinx2+1
6tan(x)/cos(x)^(4)(sin(x)^(2)+1)
6tan(x)/cos(x)(4)(sin(x)(2)+1)
6tanx/cosx4sinx2+1
6tanx/cosx^4sinx^2+1
6*tan(x) разделить на cos(x)^(4)*(sin(x)^(2)+1)
Похожие выражения
6*tan(x)/cos(x)^(4)*(sin(x)^(2)-1)
6*tan(x)/cosx^(4)*(sinx^(2)+1)

Производная функции/ 6*tan(x)/cos(x)^(4)*(sin(x)^(2)+1)

Производная 6tan(x)/cos(x)^(4)(sin(x)^(2)+1)

Решение

Вы ввели [src]

         /   2       \
6*tan(x)*\sin (x) + 1/
----------------------
          4           
       cos (x)

$$\frac{6 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)}}{\cos^{4}{\left(x \right)}}$$

  /         /   2       \\
d |6*tan(x)*\sin (x) + 1/|
--|----------------------|
dx|          4           |
  \       cos (x)        /

$$\frac{d}{d x} \frac{6 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)}}{\cos^{4}{\left(x \right)}}$$

Преобразовать

Подробное решение

Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
1. Применим правило производной частного:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos^{4}{\left(x \right)}$ .
  
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Применяем правило производной умножения:
    
    $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
    
    $f{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} + 1$ ; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. дифференцируем $\sin^{2}{\left(x \right)} + 1$ почленно:
      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.
      2. Заменим $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      3. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$
      4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$ :
        
        Производная синуса есть косинус:
        
        $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
        
        В результате последовательности правил:
        
        $2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$
      В результате: $2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$
    $g{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}$ ; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
      
      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
    2. Применим правило производной частного:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      1. Производная синуса есть косинус:
        
        $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      1. Производная косинус есть минус синус:
        
        $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      Теперь применим правило производной деления:
      
      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
    В результате: $\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}$
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Заменим $u = \cos{\left(x \right)}$ .
  2. В силу правила, применим: $u^{4}$ получим $4 u^{3}$
  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}$ :
    1. Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
    В результате последовательности правил:
    
    $- 4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}$
  Теперь применим правило производной деления:
  
  $\frac{\left(\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}\right) \cos^{4}{\left(x \right)} + 4 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}{\cos^{8}{\left(x \right)}}$
Таким образом, в результате: $\frac{6 \left(\left(\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}\right) \cos^{4}{\left(x \right)} + 4 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}\right)}{\cos^{8}{\left(x \right)}}$
Теперь упростим:

$\frac{6 \cdot \left(2 \sin^{4}{\left(x \right)} + 7 \sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\cos^{6}{\left(x \right)}}$

Ответ:

$\frac{6 \cdot \left(2 \sin^{4}{\left(x \right)} + 7 \sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\cos^{6}{\left(x \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

  /       2   \ /   2       \                                /   2       \              
6*\1 + tan (x)/*\sin (x) + 1/   12*cos(x)*sin(x)*tan(x)   24*\sin (x) + 1/*sin(x)*tan(x)
----------------------------- + ----------------------- + ------------------------------
              4                            4                            5               
           cos (x)                      cos (x)                      cos (x)

$$\frac{12 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}{\cos^{4}{\left(x \right)}} + \frac{6 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\cos^{4}{\left(x \right)}} + \frac{24 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}{\cos^{5}{\left(x \right)}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

   /                                                                                                                              /         2   \                                              \
   |                                                                                                                /       2   \ |    5*sin (x)|                                              |
   |                                                                                                              2*\1 + sin (x)/*|1 + ---------|*tan(x)                                       |
   |                         /   2         2   \               2             /       2   \ /       2   \                          |        2    |            /       2   \ /       2   \       |
   |  /       2   \          \sin (x) - cos (x)/*tan(x)   8*sin (x)*tan(x)   \1 + sin (x)/*\1 + tan (x)/*tan(x)                   \     cos (x) /          4*\1 + sin (x)/*\1 + tan (x)/*sin(x)|
12*|2*\1 + tan (x)/*sin(x) - -------------------------- + ---------------- + ---------------------------------- + -------------------------------------- + ------------------------------------|
   |                                   cos(x)                  cos(x)                      cos(x)                                 cos(x)                                    2                  |
   \                                                                                                                                                                     cos (x)               /
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                               3                                                                                                
                                                                                            cos (x)

$$\frac{12 \cdot \left(\frac{2 \cdot \left(\frac{5 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + 2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} + \frac{8 \sin^{2}{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{4 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\right)}{\cos^{3}{\left(x \right)}}$$

Упростить

Третья производная [src]

   /                                                                                                                                                                                                                                                                          /         2   \                   /          2   \                                                             \
   |                                                                                                                                                                                                                                              /       2   \ /       2   \ |    5*sin (x)|     /       2   \ |    15*sin (x)|                                                             |
   |                                                                                                                                                                                                                                            6*\1 + sin (x)/*\1 + tan (x)/*|1 + ---------|   4*\1 + sin (x)/*|7 + ----------|*sin(x)*tan(x)                                               |
   |                     /       2   \ /   2         2   \                                      /         2   \                       2    /       2   \   /       2   \ /       2   \ /         2   \      /   2         2   \                                               |        2    |                   |        2     |                    /       2   \ /       2   \              |
   |                   3*\1 + tan (x)/*\sin (x) - cos (x)/     /       2   \                    |    5*sin (x)|                 24*sin (x)*\1 + tan (x)/   \1 + sin (x)/*\1 + tan (x)/*\1 + 3*tan (x)/   12*\sin (x) - cos (x)/*sin(x)*tan(x)                                 \     cos (x) /                   \     cos (x)  /                 12*\1 + sin (x)/*\1 + tan (x)/*sin(x)*tan(x)|
12*|-4*sin(x)*tan(x) - ----------------------------------- + 6*\1 + tan (x)/*sin(x)*tan(x) + 12*|1 + ---------|*sin(x)*tan(x) + ------------------------ + ------------------------------------------- - ------------------------------------ + --------------------------------------------- + ---------------------------------------------- + --------------------------------------------|
   |                                  cos(x)                                                    |        2    |                          cos(x)                               cos(x)                                      2                                         cos(x)                                            2                                               2                      |
   \                                                                                            \     cos (x) /                                                                                                        cos (x)                                                                                     cos (x)                                         cos (x)                   /
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                                                                              3                                                                                                                                                                                               
                                                                                                                                                                                           cos (x)

$$\frac{12 \cdot \left(12 \cdot \left(\frac{5 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \sin{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)} + 6 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)} + \frac{6 \cdot \left(\frac{5 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{4 \cdot \left(\frac{15 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 7\right) \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{12 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{24 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} - 4 \sin{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)} - \frac{3 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\cos{\left(x \right)}} - \frac{12 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right)}{\cos^{3}{\left(x \right)}}$$

Упростить

График

Производная 6*tan(x)/cos(x)^(4)*(sin(x)^(2)+1)

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная 6tan(x)/cos(x)^(4)(sin(x)^(2)+1)

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная 6*tan(x)/cos(x)^(4)*(sin(x)^(2)+1)

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Производная 6tan(x)/cos(x)^(4)(sin(x)^(2)+1)