Производная 6*(cos(t)^3)*t

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} g{\left(t \right)} = f{\left(t \right)} \frac{d}{d t} g{\left(t \right)} + g{\left(t \right)} \frac{d}{d t} f{\left(t \right)}$

      $f{\left(t \right)} = t$; найдём $\frac{d}{d t} f{\left(t \right)}$:

      1. В силу правила, применим: $t$ получим $1$

      $g{\left(t \right)} = \cos^{3}{\left(t \right)}$; найдём $\frac{d}{d t} g{\left(t \right)}$:

      1. Заменим $u = \cos{\left(t \right)}$.

      2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d t} \cos{\left(t \right)}$:

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d t} \cos{\left(t \right)} = - \sin{\left(t \right)}$

         В результате последовательности правил:

         $- 3 \sin{\left(t \right)} \cos^{2}{\left(t \right)}$

      В результате: $- 3 t \sin{\left(t \right)} \cos^{2}{\left(t \right)} + \cos^{3}{\left(t \right)}$

   Таким образом, в результате: $- 18 t \sin{\left(t \right)} \cos^{2}{\left(t \right)} + 6 \cos^{3}{\left(t \right)}$

2. Теперь упростим:

   $6 \left(- 3 t \sin{\left(t \right)} + \cos{\left(t \right)}\right) \cos^{2}{\left(t \right)}$

Ответ:

$6 \left(- 3 t \sin{\left(t \right)} + \cos{\left(t \right)}\right) \cos^{2}{\left(t \right)}$