Производная sec(tan(sqrt(x)))

Решение

Вы ввели [src]

   /   /  ___\\
sec\tan\\/ x //

$$\sec{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}$$

d /   /   /  ___\\\
--\sec\tan\\/ x ///
dx

$$\frac{d}{d x} \sec{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}$$

Преобразовать

Подробное решение

Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

$\sec{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)} = \frac{1}{\cos{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}$
Заменим $u = \cos{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}$ .
В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$
Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}$ :
1. Заменим $u = \tan{\left(\sqrt{x} \right)}$ .
2. Производная косинус есть минус синус:
  
  $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(\sqrt{x} \right)}$ :
  1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
    
    $\tan{\left(\sqrt{x} \right)} = \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}$
  2. Применим правило производной частного:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\sqrt{x} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\sqrt{x} \right)}$ .
    
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Заменим $u = \sqrt{x}$ .
    2. Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sqrt{x}$ :
      1. В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$
      В результате последовательности правил:
      
      $\frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}$
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Заменим $u = \sqrt{x}$ .
    2. Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sqrt{x}$ :
      1. В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$
      В результате последовательности правил:
      
      $- \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}$
    Теперь применим правило производной деления:
    
    $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}} + \frac{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}}{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}$
  В результате последовательности правил:
  
  $- \frac{\left(\frac{\sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}} + \frac{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}\right) \sin{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}$
В результате последовательности правил:

$\frac{\left(\frac{\sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}} + \frac{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}\right) \sin{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} \cos^{2}{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}$
Теперь упростим:

$\frac{\sin{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{2 \sqrt{x} \cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} \cos^{2}{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}$

Ответ:

$\frac{\sin{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{2 \sqrt{x} \cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} \cos^{2}{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

/       2/  ___\\    /   /  ___\\    /   /  ___\\
\1 + tan \\/ x //*sec\tan\\/ x //*tan\tan\\/ x //
-------------------------------------------------
                         ___                     
                     2*\/ x

$$\frac{\left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right) \tan{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)} \sec{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{2 \sqrt{x}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

                  /     /   /  ___\\      2/   /  ___\\ /       2/  ___\\   /       2/  ___\\ /       2/   /  ___\\\        /  ___\    /   /  ___\\\                
/       2/  ___\\ |  tan\tan\\/ x //   tan \tan\\/ x //*\1 + tan \\/ x //   \1 + tan \\/ x //*\1 + tan \tan\\/ x ///   2*tan\\/ x /*tan\tan\\/ x //|    /   /  ___\\
\1 + tan \\/ x //*|- --------------- + ---------------------------------- + ---------------------------------------- + ----------------------------|*sec\tan\\/ x //
                  |         3/2                        x                                       x                                    x              |                
                  \        x                                                                                                                       /                
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                 4

$$\frac{\left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right) \left(\frac{\left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{x} + \frac{\left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right) \left(\tan^{2}{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)} + 1\right)}{x} + \frac{2 \tan{\left(\sqrt{x} \right)} \tan{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{x} - \frac{\tan{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{x^{\frac{3}{2}}}\right) \sec{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{4}$$

Упростить

Третья производная [src]

                  /                                     2                                                                                                                                                                                                                                2                                                                                                                                                 \                
                  |     /   /  ___\\   /       2/  ___\\     3/   /  ___\\        /  ___\    /   /  ___\\        2/   /  ___\\ /       2/  ___\\     /       2/  ___\\ /       2/   /  ___\\\     /       2/  ___\\    /   /  ___\\        2/  ___\    /   /  ___\\     /       2/  ___\\  /       2/   /  ___\\\    /   /  ___\\        2/   /  ___\\ /       2/  ___\\    /  ___\     /       2/  ___\\ /       2/   /  ___\\\    /  ___\|                
/       2/  ___\\ |3*tan\tan\\/ x //   \1 + tan \\/ x // *tan \tan\\/ x //   6*tan\\/ x /*tan\tan\\/ x //   3*tan \tan\\/ x //*\1 + tan \\/ x //   3*\1 + tan \\/ x //*\1 + tan \tan\\/ x ///   2*\1 + tan \\/ x //*tan\tan\\/ x //   4*tan \\/ x /*tan\tan\\/ x //   5*\1 + tan \\/ x // *\1 + tan \tan\\/ x ///*tan\tan\\/ x //   6*tan \tan\\/ x //*\1 + tan \\/ x //*tan\\/ x /   6*\1 + tan \\/ x //*\1 + tan \tan\\/ x ///*tan\\/ x /|    /   /  ___\\
\1 + tan \\/ x //*|----------------- + ----------------------------------- - ---------------------------- - ------------------------------------ - ------------------------------------------ + ----------------------------------- + ----------------------------- + ----------------------------------------------------------- + ----------------------------------------------- + -----------------------------------------------------|*sec\tan\\/ x //
                  |        5/2                          3/2                                2                                  2                                         2                                        3/2                                3/2                                            3/2                                                     3/2                                                  3/2                        |                
                  \       x                            x                                  x                                  x                                         x                                        x                                  x                                              x                                                       x                                                    x                           /                
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                                                                                                             8

$$\frac{\left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right) \left(\frac{\left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right)^{2} \tan^{3}{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{x^{2}} + \frac{5 \left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right)^{2} \left(\tan^{2}{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)} + 1\right) \tan{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{6 \left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right) \tan{\left(\sqrt{x} \right)} \tan^{2}{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right) \left(\tan^{2}{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)} + 1\right)}{x^{2}} - \frac{6 \tan{\left(\sqrt{x} \right)} \tan{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{x^{2}} + \frac{6 \left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right) \left(\tan^{2}{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)} + 1\right) \tan{\left(\sqrt{x} \right)}}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} \tan{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right) \tan{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3 \tan{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{x^{\frac{5}{2}}}\right) \sec{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{8}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Производная sec(tan(sqrt(x)))

График:

Кусочно-заданная:

Решение