Производная 5*x*cos(5*x)+3*x*sin(5*x)

1. дифференцируем $3 x \sin{\left(5 x \right)} + 5 x \cos{\left(5 x \right)}$ почленно:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Применяем правило производной умножения:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         $g{\left(x \right)} = \cos{\left(5 x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Заменим $u = 5 x$.

         2. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 5 x$:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $5$

            В результате последовательности правил:

            $- 5 \sin{\left(5 x \right)}$

         В результате: $- 5 x \sin{\left(5 x \right)} + \cos{\left(5 x \right)}$

      Таким образом, в результате: $- 25 x \sin{\left(5 x \right)} + 5 \cos{\left(5 x \right)}$

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Применяем правило производной умножения:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         $g{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Заменим $u = 5 x$.

         2. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 5 x$:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $5$

            В результате последовательности правил:

            $5 \cos{\left(5 x \right)}$

         В результате: $5 x \cos{\left(5 x \right)} + \sin{\left(5 x \right)}$

      Таким образом, в результате: $15 x \cos{\left(5 x \right)} + 3 \sin{\left(5 x \right)}$

   В результате: $- 25 x \sin{\left(5 x \right)} + 15 x \cos{\left(5 x \right)} + 3 \sin{\left(5 x \right)} + 5 \cos{\left(5 x \right)}$

Ответ:

$- 25 x \sin{\left(5 x \right)} + 15 x \cos{\left(5 x \right)} + 3 \sin{\left(5 x \right)} + 5 \cos{\left(5 x \right)}$