Производная 5*tan(log(3^x))

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      $\tan{\left(\log{\left(3^{x} \right)} \right)} = \frac{\sin{\left(\log{\left(3^{x} \right)} \right)}}{\cos{\left(\log{\left(3^{x} \right)} \right)}}$

   2. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\log{\left(3^{x} \right)} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\log{\left(3^{x} \right)} \right)}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = \log{\left(3^{x} \right)}$.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left(3^{x} \right)}$:

         1. Заменим $u = 3^{x}$.

         2. Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$.

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 3^{x}$:

            1. $\frac{d}{d x} 3^{x} = 3^{x} \log{\left(3 \right)}$

            В результате последовательности правил:

            $\log{\left(3 \right)}$

         В результате последовательности правил:

         $\log{\left(3 \right)} \cos{\left(\log{\left(3^{x} \right)} \right)}$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = \log{\left(3^{x} \right)}$.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left(3^{x} \right)}$:

         1. Заменим $u = 3^{x}$.

         2. Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$.

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 3^{x}$:

            1. $\frac{d}{d x} 3^{x} = 3^{x} \log{\left(3 \right)}$

            В результате последовательности правил:

            $\log{\left(3 \right)}$

         В результате последовательности правил:

         $- \log{\left(3 \right)} \sin{\left(\log{\left(3^{x} \right)} \right)}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{\log{\left(3 \right)} \sin^{2}{\left(\log{\left(3^{x} \right)} \right)} + \log{\left(3 \right)} \cos^{2}{\left(\log{\left(3^{x} \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(\log{\left(3^{x} \right)} \right)}}$

   Таким образом, в результате: $\frac{5 \left(\log{\left(3 \right)} \sin^{2}{\left(\log{\left(3^{x} \right)} \right)} + \log{\left(3 \right)} \cos^{2}{\left(\log{\left(3^{x} \right)} \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(\log{\left(3^{x} \right)} \right)}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{\log{\left(243 \right)}}{\cos^{2}{\left(\log{\left(3^{x} \right)} \right)}}$

Ответ:

$\frac{\log{\left(243 \right)}}{\cos^{2}{\left(\log{\left(3^{x} \right)} \right)}}$