Производная 5*cot(x)+x^10

1. дифференцируем $x^{10} + 5 \cot{\left(x \right)}$ почленно:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Method #1

         1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

            $\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$

         2. Заменим $u = \tan{\left(x \right)}$.

         3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

         4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$:

            1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

               $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

            2. Применим правило производной частного:

               $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

               $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

               Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

               1. Производная синуса есть косинус:

                  $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

               Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

               1. Производная косинус есть минус синус:

                  $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

               Теперь применим правило производной деления:

               $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

            В результате последовательности правил:

            $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$

         Method #2

         1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

            $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$

         2. Применим правило производной частного:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Производная косинус есть минус синус:

               $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. Производная синуса есть косинус:

               $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

            Теперь применим правило производной деления:

            $\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

      Таким образом, в результате: $- \frac{5 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$

   2. В силу правила, применим: $x^{10}$ получим $10 x^{9}$

   В результате: $10 x^{9} - \frac{5 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$

2. Теперь упростим:

   $10 x^{9} - \frac{5}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

Ответ:

$10 x^{9} - \frac{5}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$