Производная (1-cot(x))^(-1)

Решение

Вы ввели [src]

    1     
----------
1 - cot(x)

$$\frac{1}{- \cot{\left(x \right)} + 1}$$

d /    1     \
--|----------|
dx\1 - cot(x)/

$$\frac{d}{d x} \frac{1}{- \cot{\left(x \right)} + 1}$$

Преобразовать

Подробное решение

Заменим $u = 1 - \cot{\left(x \right)}$ .
В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$
Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(1 - \cot{\left(x \right)}\right)$ :
1. дифференцируем $1 - \cot{\left(x \right)}$ почленно:
  1. Производная постоянной $1$ равна нулю.
  2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
    1. Есть несколько способов вычислить эту производную.
      Method #1
      
      Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
      
      $\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$
      
      Заменим $u = \tan{\left(x \right)}$ .
      
      В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$
      
      Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$ :
      
      Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
      
      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
      
      Применим правило производной частного:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      
      Теперь применим правило производной деления:
      
      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$
      Method #2
      
      Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
      
      $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$
      
      Применим правило производной частного:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      
      Теперь применим правило производной деления:
      
      $\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$
    Таким образом, в результате: $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$
  В результате: $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$
В результате последовательности правил:

$- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(1 - \cot{\left(x \right)}\right)^{2} \cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$
Теперь упростим:

$- \frac{1}{\left(\tan{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}$

Ответ:

$- \frac{1}{\left(\tan{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

         2   
 -1 - cot (x)
-------------
            2
(1 - cot(x))

$$\frac{- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1}{\left(- \cot{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

                /         2            \
  /       2   \ |  1 + cot (x)         |
2*\1 + cot (x)/*|- ----------- + cot(x)|
                \  -1 + cot(x)         /
----------------------------------------
                          2             
             (-1 + cot(x))

$$\frac{2 \left(\cot{\left(x \right)} - \frac{\cot^{2}{\left(x \right)} + 1}{\cot{\left(x \right)} - 1}\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\left(\cot{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}$$

Упростить

Третья производная [src]

                /                                2                         \
                |                   /       2   \      /       2   \       |
  /       2   \ |          2      3*\1 + cot (x)/    6*\1 + cot (x)/*cot(x)|
2*\1 + cot (x)/*|-1 - 3*cot (x) - ---------------- + ----------------------|
                |                               2         -1 + cot(x)      |
                \                  (-1 + cot(x))                           /
----------------------------------------------------------------------------
                                            2                               
                               (-1 + cot(x))

$$\frac{2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(- 3 \cot^{2}{\left(x \right)} + \frac{6 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)}}{\cot{\left(x \right)} - 1} - 1 - \frac{3 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\left(\cot{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}\right)}{\left(\cot{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная (1-cot(x))^(-1)

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Method #1

Method #2