Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Производная:
Производная atan(sqrt(x))-1
Производная 1/2-3*x
Производная x/2*sqrt(x^2+a)+a/2*log(x+sqrt(x^2+a))
Производная (8/x+x^2)*sqrt(x)
Интеграл d{x}:
1/(x*log(x+1))
Идентичные выражения
один /(x*log(x+ один))
1 делить на (x умножить на логарифм от (x плюс 1))
один делить на (x умножить на логарифм от (x плюс один))
1/(xlog(x+1))
1/xlogx+1
1 разделить на (x*log(x+1))
Похожие выражения
(x*log(x)-1)/(x*log(x)+1)
1/(x*log(x-1))

Производная функции/ 1/(x*log(x+1))

Производная 1/(x*log(x+1))

Решение

Вы ввели [src]

       1      
1*------------
  x*log(x + 1)

1 \cdot \frac{1}{x \log{\left(x + 1 \right)}}

d /       1      \
--|1*------------|
dx\  x*log(x + 1)/

\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{x \log{\left(x + 1 \right)}}

Преобразовать

Подробное решение

Применим правило производной частного:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = x \log{\left(x + 1 \right)}$ .

Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Производная постоянной $1$ равна нулю.
Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Применяем правило производной умножения:
  
  $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
  
  $f{\left(x \right)} = x$ ; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
  $g{\left(x \right)} = \log{\left(x + 1 \right)}$ ; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Заменим $u = x + 1$ .
  2. Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$ .
  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)$ :
    1. дифференцируем $x + 1$ почленно:
      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      2. Производная постоянной $1$ равна нулю.
      В результате: $1$
    В результате последовательности правил:
    
    $\frac{1}{x + 1}$
  В результате: $\frac{x}{x + 1} + \log{\left(x + 1 \right)}$
Теперь применим правило производной деления:

$\frac{- \frac{x}{x + 1} - \log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2} \log{\left(x + 1 \right)}^{2}}$
Теперь упростим:

$\frac{- x - \left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2} \left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)}^{2}}$

Ответ:

$\frac{- x - \left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2} \left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)}^{2}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

     1       /                x  \
------------*|-log(x + 1) - -----|
x*log(x + 1) \              x + 1/
----------------------------------
           x*log(x + 1)

\frac{\frac{1}{x \log{\left(x + 1 \right)}} \left(- \log{\left(x + 1 \right)} - \frac{x}{x + 1}\right)}{x \log{\left(x + 1 \right)}}

Упростить

Вторая производная [src]

  x                         x                                                       x               
----- + log(1 + x)   -2 + -----                                                   ----- + log(1 + x)
1 + x                     1 + x   /1           1         \ /  x               \   1 + x             
------------------ + ---------- + |- + ------------------|*|----- + log(1 + x)| + ------------------
        x              1 + x      \x   (1 + x)*log(1 + x)/ \1 + x             /   (1 + x)*log(1 + x)
----------------------------------------------------------------------------------------------------
                                            2    2                                                  
                                           x *log (1 + x)

\frac{\left(\log{\left(x + 1 \right)} + \frac{x}{x + 1}\right) \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{\left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)}}\right) + \frac{\frac{x}{x + 1} - 2}{x + 1} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)} + \frac{x}{x + 1}}{x} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)} + \frac{x}{x + 1}}{\left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)}}}{x^{2} \log{\left(x + 1 \right)}^{2}}

Упростить

Третья производная [src]

 /      2*x                                                                                                      /  x               \   /1           1         \ /  x               \   /       x  \ /1           1         \      x                    /       x  \        /       x  \       /  x               \   /1           1         \ /  x               \     /  x               \\ 
 |-3 + -----                                                                                                   3*|----- + log(1 + x)|   |- + ------------------|*|----- + log(1 + x)|   |-2 + -----|*|- + ------------------|    ----- + log(1 + x)   3*|-2 + -----|      3*|-2 + -----|     3*|----- + log(1 + x)|   |- + ------------------|*|----- + log(1 + x)|   4*|----- + log(1 + x)|| 
 |     1 + x   /  x               \ /2             1                     2                      2          \     \1 + x             /   \x   (1 + x)*log(1 + x)/ \1 + x             /   \     1 + x/ \x   (1 + x)*log(1 + x)/    1 + x                  \     1 + x/        \     1 + x/       \1 + x             /   \x   (1 + x)*log(1 + x)/ \1 + x             /     \1 + x             /| 
-|---------- + |----- + log(1 + x)|*|-- + ------------------- + -------------------- + --------------------| + ---------------------- + --------------------------------------------- + ------------------------------------- + ------------------- + -------------- + ------------------- + ---------------------- + --------------------------------------------- + ----------------------| 
 |        2    \1 + x             / | 2          2                     2    2          x*(1 + x)*log(1 + x)|              2                                   x                                         1 + x                          2                x*(1 + x)             2                      2    2                         (1 + x)*log(1 + x)                 x*(1 + x)*log(1 + x) | 
 \ (1 + x)                          \x    (1 + x) *log(1 + x)   (1 + x) *log (1 + x)                       /             x                                                                                                      (1 + x) *log(1 + x)                    (1 + x) *log(1 + x)    (1 + x) *log (1 + x)                                                                          / 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                                                                         2    2                                                                                                                                                                                               
                                                                                                                                                                                        x *log (1 + x)

- \frac{\left(\log{\left(x + 1 \right)} + \frac{x}{x + 1}\right) \left(\frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2} \log{\left(x + 1 \right)}} + \frac{2}{x \left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)}} + \frac{2}{\left(x + 1\right)^{2} \log{\left(x + 1 \right)}^{2}}\right) + \frac{\left(\frac{x}{x + 1} - 2\right) \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{\left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)}}\right)}{x + 1} + \frac{\left(\log{\left(x + 1 \right)} + \frac{x}{x + 1}\right) \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{\left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)}}\right)}{x} + \frac{\left(\log{\left(x + 1 \right)} + \frac{x}{x + 1}\right) \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{\left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)}}\right)}{\left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)}} + \frac{\frac{2 x}{x + 1} - 3}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{3 \left(\frac{x}{x + 1} - 2\right)}{x \left(x + 1\right)} + \frac{3 \left(\log{\left(x + 1 \right)} + \frac{x}{x + 1}\right)}{x^{2}} + \frac{3 \left(\frac{x}{x + 1} - 2\right)}{\left(x + 1\right)^{2} \log{\left(x + 1 \right)}} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)} + \frac{x}{x + 1}}{\left(x + 1\right)^{2} \log{\left(x + 1 \right)}} + \frac{4 \left(\log{\left(x + 1 \right)} + \frac{x}{x + 1}\right)}{x \left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)}} + \frac{3 \left(\log{\left(x + 1 \right)} + \frac{x}{x + 1}\right)}{\left(x + 1\right)^{2} \log{\left(x + 1 \right)}^{2}}}{x^{2} \log{\left(x + 1 \right)}^{2}}

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная 1/(x*log(x+1))

График:

Кусочно-заданная:

Решение