Производная 1/(x-1)+4/(x-4)

1. дифференцируем $\frac{4}{x - 4} + 1 \cdot \frac{1}{x - 1}$ почленно:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = x - 1$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. дифференцируем $x - 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $- \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}$

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = x - 4$.

      2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x - 4\right)$:

         1. дифференцируем $x - 4$ почленно:

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            2. Производная постоянной $\left(-1\right) 4$ равна нулю.

            В результате: $1$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{1}{\left(x - 4\right)^{2}}$

      Таким образом, в результате: $- \frac{4}{\left(x - 4\right)^{2}}$

   В результате: $- \frac{4}{\left(x - 4\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{4}{\left(x - 4\right)^{2}}$

Ответ:

$- \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{4}{\left(x - 4\right)^{2}}$