Производная (20*x-19)*cos(x)-20*sin(x)+19

1. дифференцируем $\left(20 x - 19\right) \cos{\left(x \right)} - 20 \sin{\left(x \right)} + 19$ почленно:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = 20 x - 19$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. дифференцируем $20 x - 19$ почленно:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $20$

         2. Производная постоянной $\left(-1\right) 19$ равна нулю.

         В результате: $20$

      $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      В результате: $- \left(20 x - 19\right) \sin{\left(x \right)} + 20 \cos{\left(x \right)}$

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         Таким образом, в результате: $20 \cos{\left(x \right)}$

      Таким образом, в результате: $- 20 \cos{\left(x \right)}$

   3. Производная постоянной $19$ равна нулю.

   В результате: $- \left(20 x - 19\right) \sin{\left(x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $\left(19 - 20 x\right) \sin{\left(x \right)}$

Ответ:

$\left(19 - 20 x\right) \sin{\left(x \right)}$