Производная 1/(sqrt(x^2-1))-x^2/(x^2-1)^(3/2)

1. дифференцируем $- \frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}} + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ почленно:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = \sqrt{x^{2} - 1}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = x^{2} - 1$.

      2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 1\right)$:

         1. дифференцируем $x^{2} - 1$ почленно:

            1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

            2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

            В результате: $2 x$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $- \frac{x}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}}$

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = x^{2}$ и $g{\left(x \right)} = \left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Заменим $u = x^{2} - 1$.

         2. В силу правила, применим: $u^{\frac{3}{2}}$ получим $\frac{3 \sqrt{u}}{2}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 1\right)$:

            1. дифференцируем $x^{2} - 1$ почленно:

               1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

               2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

               В результате: $2 x$

            В результате последовательности правил:

            $3 x \sqrt{x^{2} - 1}$

         Теперь применим правило производной деления:

         $\frac{- 3 x^{3} \sqrt{x^{2} - 1} + 2 x \left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}}$

      Таким образом, в результате: $- \frac{- 3 x^{3} \sqrt{x^{2} - 1} + 2 x \left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}}$

   В результате: $- \frac{x}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{- 3 x^{3} \sqrt{x^{2} - 1} + 2 x \left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{3 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{5}{2}}}$

Ответ:

$\frac{3 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{5}{2}}}$