Производная 1/cos(x/3)^(3)

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = \cos^{3}{\left(\frac{x}{3} \right)}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}$:

      1. Заменим $u = \frac{x}{3}$.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{3}$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $\frac{1}{3}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$

      В результате последовательности правил:

      $- \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{\cos^{4}{\left(\frac{x}{3} \right)}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{\cos^{4}{\left(\frac{x}{3} \right)}}$

Ответ:

$\frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{\cos^{4}{\left(\frac{x}{3} \right)}}$