Производная cos(x+a)*sin(x-a)

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \cos{\left(a + x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = a + x$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{\partial}{\partial x} \left(a + x\right)$:

      1. дифференцируем $a + x$ почленно:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         2. Производная постоянной $a$ равна нулю.

         В результате: $1$

      В результате последовательности правил:

      $- \sin{\left(a + x \right)}$

   $g{\left(x \right)} = \sin{\left(- a + x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = - a + x$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{\partial}{\partial x} \left(- a + x\right)$:

      1. дифференцируем $- a + x$ почленно:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         2. Производная постоянной $- a$ равна нулю.

         В результате: $1$

      В результате последовательности правил:

      $\cos{\left(a - x \right)}$

   В результате: $- \sin{\left(- a + x \right)} \sin{\left(a + x \right)} + \cos{\left(a - x \right)} \cos{\left(a + x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $\cos{\left(2 x \right)}$

Ответ:

$\cos{\left(2 x \right)}$