Производная 1/2*tan(4*x-pi)+pi/4

1. дифференцируем $\frac{\tan{\left(4 x - \pi \right)}}{2} + \frac{\pi}{4}$ почленно:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

         $\tan{\left(4 x - \pi \right)} = \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{\cos{\left(4 x \right)}}$

      2. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x \right)}$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Заменим $u = 4 x$.

         2. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 4 x$:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $4$

            В результате последовательности правил:

            $4 \cos{\left(4 x \right)}$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Заменим $u = 4 x$.

         2. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 4 x$:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $4$

            В результате последовательности правил:

            $- 4 \sin{\left(4 x \right)}$

         Теперь применим правило производной деления:

         $\frac{4 \sin^{2}{\left(4 x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(4 x \right)}}{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}$

      Таким образом, в результате: $\frac{4 \sin^{2}{\left(4 x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(4 x \right)}}{2 \cos^{2}{\left(4 x \right)}}$

   2. Производная постоянной $\frac{\pi}{4}$ равна нулю.

   В результате: $\frac{4 \sin^{2}{\left(4 x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(4 x \right)}}{2 \cos^{2}{\left(4 x \right)}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{2}{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}$

Ответ:

$\frac{2}{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}$