Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Производная:
Производная atan(sqrt(x))-1
Производная 1/2-3*x
Производная x/2*sqrt(x^2+a)+a/2*log(x+sqrt(x^2+a))
Производная (8/x+x^2)*sqrt(x)
Идентичные выражения
один / два *sin(x)^(- два)+cot(x)^(два)
1 делить на 2 умножить на синус от (x) в степени ( минус 2) плюс котангенс от (x) в степени (2)
один делить на два умножить на синус от (x) в степени ( минус два) плюс котангенс от (x) в степени (два)
1/2*sin(x)(-2)+cot(x)(2)
1/2*sinx-2+cotx2
1/2sin(x)^(-2)+cot(x)^(2)
1/2sin(x)(-2)+cot(x)(2)
1/2sinx-2+cotx2
1/2sinx^-2+cotx^2
1 разделить на 2*sin(x)^(-2)+cot(x)^(2)
Похожие выражения
1/2*sin(x)^(-2)-cot(x)^(2)
1/2*sin(x)^(2)+cot(x)^(2)
1/2*sinx^(-2)+cot(x)^(2)

Производная функции/ 1/2*sin(x)^(-2)+cot(x)^(2)

Производная 1/2*sin(x)^(-2)+cot(x)^(2)

Решение

Вы ввели [src]

    1          2   
--------- + cot (x)
     2             
2*sin (x)

$$\cot^{2}{\left(x \right)} + \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}$$

d /    1          2   \
--|--------- + cot (x)|
dx|     2             |
  \2*sin (x)          /

$$\frac{d}{d x} \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}\right)$$

Преобразовать

Подробное решение

дифференцируем $\cot^{2}{\left(x \right)} + \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}$ почленно:
1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
  1. Заменим $u = \sin{\left(x \right)}$ .
  2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u^{2}}$ получим $- \frac{2}{u^{3}}$
  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$ :
    1. Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
    В результате последовательности правил:
    
    $- \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}$
  Таким образом, в результате: $- \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}$
2. Заменим $u = \cot{\left(x \right)}$ .
3. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$
4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left(x \right)}$ :
  1. Есть несколько способов вычислить эту производную.
    Method #1
    1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
      
      $\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$
    2. Заменим $u = \tan{\left(x \right)}$ .
    3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$
    4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$ :
      
      Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
      
      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
      
      Применим правило производной частного:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      
      Теперь применим правило производной деления:
      
      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$
    Method #2
    1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
      
      $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$
    2. Применим правило производной частного:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      
      Теперь применим правило производной деления:
      
      $\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$
  В результате последовательности правил:
  
  $- \frac{2 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cot{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$
В результате: $- \frac{2 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cot{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}$
Теперь упростим:

$- \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}$

Ответ:

$- \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

/          2   \           cos(x)
\-2 - 2*cot (x)/*cot(x) - -------
                             3   
                          sin (x)

$$\left(- 2 \cot^{2}{\left(x \right)} - 2\right) \cot{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

                         2        2                             
   1        /       2   \    3*cos (x)        2    /       2   \
------- + 2*\1 + cot (x)/  + --------- + 4*cot (x)*\1 + cot (x)/
   2                             4                              
sin (x)                       sin (x)

$$4 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot^{2}{\left(x \right)} + 2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} + \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{4}{\left(x \right)}}$$

Упростить

Третья производная [src]

   /                                          3                     2       \
   |     3    /       2   \   2*cos(x)   3*cos (x)     /       2   \        |
-4*|2*cot (x)*\1 + cot (x)/ + -------- + --------- + 4*\1 + cot (x)/ *cot(x)|
   |                             3           5                              |
   \                          sin (x)     sin (x)                           /

$$- 4 \cdot \left(2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot^{3}{\left(x \right)} + 4 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \cot{\left(x \right)} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}} + \frac{3 \cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{5}{\left(x \right)}}\right)$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная 1/2*sin(x)^(-2)+cot(x)^(2)

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Method #1

Method #2