Производная (-x-3)/(x+1)^3

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = - x - 3$ и $g{\left(x \right)} = \left(x + 1\right)^{3}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $- x - 3$ почленно:

      1. Производная постоянной $-3$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $-1$

      В результате: $-1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = x + 1$.

   2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)$:

      1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      В результате последовательности правил:

      $3 \left(x + 1\right)^{2}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{- 3 \left(- x - 3\right) \left(x + 1\right)^{2} - \left(x + 1\right)^{3}}{\left(x + 1\right)^{6}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{2 \left(x + 4\right)}{\left(x + 1\right)^{4}}$

Ответ:

$\frac{2 \left(x + 4\right)}{\left(x + 1\right)^{4}}$