Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Производная:
Производная sqrt(1+x^2)*atan(x)
Производная 8*cos(x)^3
Производная (cos(7*x))^2
Производная (cosh(x)/sinh(x)^(2))-log(coth(x/2))
Идентичные выражения
log(x)^(три)*cot(x)
логарифм от (x) в степени (3) умножить на котангенс от (x)
логарифм от (x) в степени (три) умножить на котангенс от (x)
log(x)(3)*cot(x)
logx3*cotx
log(x)^(3)cot(x)
log(x)(3)cot(x)
logx3cotx
logx^3cotx
Похожие выражения
x^2*sin(x)^(3)^2+log(x)^3*cot(x)+atan(sqrt(x))
5^(log(x)^3*cot(x))*cos(sqrt(x))

Производная функции/ log(x)^(3)*cot(x)

Производная log(x)^(3)*cot(x)

Решение

Вы ввели [src]

   3          
log (x)*cot(x)

$$\log{\left(x \right)}^{3} \cot{\left(x \right)}$$

d /   3          \
--\log (x)*cot(x)/
dx

$$\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}^{3} \cot{\left(x \right)}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применяем правило производной умножения:

$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

$f{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}^{3}$ ; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Заменим $u = \log{\left(x \right)}$ .
2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}$ :
  1. Производная $\log{\left(x \right)}$ является $\frac{1}{x}$ .
  В результате последовательности правил:
  
  $\frac{3 \log{\left(x \right)}^{2}}{x}$
$g{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)}$ ; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Есть несколько способов вычислить эту производную.
  Method #1
  1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
    
    $\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$
  2. Заменим $u = \tan{\left(x \right)}$ .
  3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$
  4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$ :
    1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
      
      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
    2. Применим правило производной частного:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      
      Теперь применим правило производной деления:
      
      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
    В результате последовательности правил:
    
    $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$
  Method #2
  1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
    
    $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$
  2. Применим правило производной частного:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ .
    
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
    Теперь применим правило производной деления:
    
    $\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$
В результате: $- \frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \log{\left(x \right)}^{3}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + \frac{3 \log{\left(x \right)}^{2} \cot{\left(x \right)}}{x}$
Теперь упростим:

$\frac{\left(- \frac{x \log{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{3}{\tan{\left(x \right)}}\right) \log{\left(x \right)}^{2}}{x}$

Ответ:

$\frac{\left(- \frac{x \log{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{3}{\tan{\left(x \right)}}\right) \log{\left(x \right)}^{2}}{x}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

                              2          
   3    /        2   \   3*log (x)*cot(x)
log (x)*\-1 - cot (x)/ + ----------------
                                x

$$\left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(x \right)}^{3} + \frac{3 \log{\left(x \right)}^{2} \cot{\left(x \right)}}{x}$$

Упростить

Вторая производная [src]

/    /       2   \                                                                 \       
|  6*\1 + cot (x)/*log(x)   3*(-2 + log(x))*cot(x)        2    /       2   \       |       
|- ---------------------- - ---------------------- + 2*log (x)*\1 + cot (x)/*cot(x)|*log(x)
|            x                         2                                           |       
\                                     x                                            /

$$\left(2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(x \right)}^{2} \cot{\left(x \right)} - \frac{6 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(x \right)}}{x} - \frac{3 \left(\log{\left(x \right)} - 2\right) \cot{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) \log{\left(x \right)}$$

Упростить

Третья производная [src]

                                              /       2              \            /       2   \                              2    /       2   \       
       3    /       2   \ /         2   \   6*\1 + log (x) - 3*log(x)/*cot(x)   9*\1 + cot (x)/*(-2 + log(x))*log(x)   18*log (x)*\1 + cot (x)/*cot(x)
- 2*log (x)*\1 + cot (x)/*\1 + 3*cot (x)/ + --------------------------------- + ------------------------------------ + -------------------------------
                                                             3                                    2                                   x               
                                                            x                                    x

$$- 2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(x \right)}^{3} + \frac{18 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(x \right)}^{2} \cot{\left(x \right)}}{x} + \frac{9 \left(\log{\left(x \right)} - 2\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{6 \left(\log{\left(x \right)}^{2} - 3 \log{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)}}{x^{3}}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная log(x)^(3)*cot(x)

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Method #1

Method #2