Производная log(sin(x))/x

Решение

Вы ввели [src]

log(sin(x))
-----------
     x

$$\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{x}$$

d /log(sin(x))\
--|-----------|
dx\     x     /

$$\frac{d}{d x} \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{x}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применим правило производной частного:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = x$ .

Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Заменим $u = \sin{\left(x \right)}$ .
2. Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$ .
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$ :
  1. Производная синуса есть косинус:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  В результате последовательности правил:
  
  $\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$
Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
Теперь применим правило производной деления:

$\frac{\frac{x \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{x^{2}}$
Теперь упростим:

$\frac{\frac{x}{\tan{\left(x \right)}} - \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{x^{2}}$

Ответ:

$\frac{\frac{x}{\tan{\left(x \right)}} - \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{x^{2}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

  log(sin(x))    cos(x) 
- ----------- + --------
        2       x*sin(x)
       x

$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)}} - \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{x^{2}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

        2                              
     cos (x)   2*log(sin(x))   2*cos(x)
-1 - ------- + ------------- - --------
        2             2        x*sin(x)
     sin (x)         x                 
---------------------------------------
                   x

$$\frac{-1 - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)}} + \frac{2 \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{x^{2}}}{x}$$

Упростить

Третья производная [src]

                    /       2   \     /       2   \                   
                    |    cos (x)|     |    cos (x)|                   
                  3*|1 + -------|   2*|1 + -------|*cos(x)            
                    |       2   |     |       2   |                   
  6*log(sin(x))     \    sin (x)/     \    sin (x)/           6*cos(x)
- ------------- + --------------- + ---------------------- + ---------
         3               x                  sin(x)            2       
        x                                                    x *sin(x)
----------------------------------------------------------------------
                                  x

$$\frac{\frac{2 \cdot \left(1 + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{3 \cdot \left(1 + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right)}{x} + \frac{6 \cos{\left(x \right)}}{x^{2} \sin{\left(x \right)}} - \frac{6 \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{x^{3}}}{x}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная log(sin(x))/x

График:

Кусочно-заданная:

Решение