Производная log(sin(x))/(log(x))

Решение

Вы ввели [src]

log(sin(x))
-----------
   log(x)

$$\frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{\log{\left(x \right)}}$$

d /log(sin(x))\
--|-----------|
dx\   log(x)  /

$$\frac{d}{d x} \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{\log{\left(x \right)}}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применим правило производной частного:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ .

Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Заменим $u = \sin{\left(x \right)}$ .
2. Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$ .
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$ :
  1. Производная синуса есть косинус:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  В результате последовательности правил:
  
  $\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$
Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Производная $\log{\left(x \right)}$ является $\frac{1}{x}$ .
Теперь применим правило производной деления:

$\frac{\frac{\log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{x}}{\log{\left(x \right)}^{2}}$
Теперь упростим:

$\frac{\frac{x \log{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}} - \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{x \log{\left(x \right)}^{2}}$

Ответ:

$\frac{\frac{x \log{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}} - \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{x \log{\left(x \right)}^{2}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

    cos(x)      log(sin(x))
------------- - -----------
log(x)*sin(x)         2    
                 x*log (x)

$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{\log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)}} - \frac{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{x \log{\left(x \right)}^{2}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

               /      2   \                              
        2      |1 + ------|*log(sin(x))                  
     cos (x)   \    log(x)/                   2*cos(x)   
-1 - ------- + ------------------------ - ---------------
        2              2                  x*log(x)*sin(x)
     sin (x)          x *log(x)                          
---------------------------------------------------------
                          log(x)

$$\frac{-1 - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\left(1 + \frac{2}{\log{\left(x \right)}}\right) \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{x^{2} \log{\left(x \right)}} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x \log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)}}}{\log{\left(x \right)}}$$

Упростить

Третья производная [src]

  /       2   \            /       2   \                                                               
  |    cos (x)|            |    cos (x)|     /      3         3   \                                    
2*|1 + -------|*cos(x)   3*|1 + -------|   2*|1 + ------ + -------|*log(sin(x))     /      2   \       
  |       2   |            |       2   |     |    log(x)      2   |               3*|1 + ------|*cos(x)
  \    sin (x)/            \    sin (x)/     \             log (x)/                 \    log(x)/       
---------------------- + --------------- - ------------------------------------ + ---------------------
        sin(x)               x*log(x)                    3                            2                
                                                        x *log(x)                    x *log(x)*sin(x)  
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                 log(x)

$$\frac{\frac{2 \cdot \left(1 + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{3 \cdot \left(1 + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right)}{x \log{\left(x \right)}} + \frac{3 \cdot \left(1 + \frac{2}{\log{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)}}{x^{2} \log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)}} - \frac{2 \cdot \left(1 + \frac{3}{\log{\left(x \right)}} + \frac{3}{\log{\left(x \right)}^{2}}\right) \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{x^{3} \log{\left(x \right)}}}{\log{\left(x \right)}}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная log(sin(x))/(log(x))

График:

Кусочно-заданная:

Решение