Производная log(sin(u/2))

Вы ввели [src]

   /   /u\\
log|sin|-||
   \   \2//

$$\log{\left(\sin{\left(\frac{u}{2} \right)} \right)}$$

d /   /   /u\\\
--|log|sin|-|||
du\   \   \2///

$$\frac{d}{d u} \log{\left(\sin{\left(\frac{u}{2} \right)} \right)}$$

Преобразовать

Подробное решение

Заменим $u = \sin{\left(\frac{u}{2} \right)}$ .
Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$ .
Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d u} \sin{\left(\frac{u}{2} \right)}$ :
1. Заменим $u = \frac{u}{2}$ .
2. Производная синуса есть косинус:
  
  $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d u} \frac{u}{2}$ :
  1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
    1. В силу правила, применим: $u$ получим $1$
    Таким образом, в результате: $\frac{1}{2}$
  В результате последовательности правил:
  
  $\frac{\cos{\left(\frac{u}{2} \right)}}{2}$
В результате последовательности правил:

$\frac{\cos{\left(\frac{u}{2} \right)}}{2 \sin{\left(\frac{u}{2} \right)}}$
Теперь упростим:

$\frac{1}{2 \tan{\left(\frac{u}{2} \right)}}$

Ответ:

$\frac{1}{2 \tan{\left(\frac{u}{2} \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

    /u\ 
 cos|-| 
    \2/ 
--------
     /u\
2*sin|-|
     \2/

$$\frac{\cos{\left(\frac{u}{2} \right)}}{2 \sin{\left(\frac{u}{2} \right)}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

 /       2/u\\ 
 |    cos |-|| 
 |        \2/| 
-|1 + -------| 
 |       2/u\| 
 |    sin |-|| 
 \        \2// 
---------------
       4

$$- \frac{1 + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{u}{2} \right)}}{\sin^{2}{\left(\frac{u}{2} \right)}}}{4}$$

Упростить

Третья производная [src]

/       2/u\\       
|    cos |-||       
|        \2/|    /u\
|1 + -------|*cos|-|
|       2/u\|    \2/
|    sin |-||       
\        \2//       
--------------------
           /u\      
      4*sin|-|      
           \2/

$$\frac{\left(1 + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{u}{2} \right)}}{\sin^{2}{\left(\frac{u}{2} \right)}}\right) \cos{\left(\frac{u}{2} \right)}}{4 \sin{\left(\frac{u}{2} \right)}}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Производная log(sin(u/2))

График:

Кусочно-заданная:

Решение