Производная sqrt(x)*tan(x)

Решение

Вы ввели [src]

  ___       
\/ x *tan(x)

$$\sqrt{x} \tan{\left(x \right)}$$

d /  ___       \
--\\/ x *tan(x)/
dx

$$\frac{d}{d x} \sqrt{x} \tan{\left(x \right)}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применяем правило производной умножения:

$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

$f{\left(x \right)} = \sqrt{x}$ ; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$
$g{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}$ ; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
  
  $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
2. Применим правило производной частного:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
  
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Производная синуса есть косинус:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Производная косинус есть минус синус:
    
    $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
  Теперь применим правило производной деления:
  
  $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
В результате: $\frac{\sqrt{x} \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\tan{\left(x \right)}}{2 \sqrt{x}}$
Теперь упростим:

$\frac{x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}}{\sqrt{x} \cos^{2}{\left(x \right)}}$

Ответ:

$\frac{x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}}{\sqrt{x} \cos^{2}{\left(x \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

  ___ /       2   \    tan(x)
\/ x *\1 + tan (x)/ + -------
                          ___
                      2*\/ x

$$\sqrt{x} \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \frac{\tan{\left(x \right)}}{2 \sqrt{x}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

       2                                           
1 + tan (x)   tan(x)       ___ /       2   \       
----------- - ------ + 2*\/ x *\1 + tan (x)/*tan(x)
     ___         3/2                               
   \/ x       4*x

$$2 \sqrt{x} \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} + \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\sqrt{x}} - \frac{\tan{\left(x \right)}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$$

Упростить

Третья производная [src]

    /       2   \                                                        /       2   \       
  3*\1 + tan (x)/   3*tan(x)       ___ /       2   \ /         2   \   3*\1 + tan (x)/*tan(x)
- --------------- + -------- + 2*\/ x *\1 + tan (x)/*\1 + 3*tan (x)/ + ----------------------
          3/2           5/2                                                      ___         
       4*x           8*x                                                       \/ x

$$2 \sqrt{x} \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)}}{\sqrt{x}} - \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3 \tan{\left(x \right)}}{8 x^{\frac{5}{2}}}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная sqrt(x)*tan(x)

График:

Кусочно-заданная:

Решение