Производная sqrt(x*sin(x))

Решение

Вы ввели [src]

  __________
\/ x*sin(x)

$$\sqrt{x \sin{\left(x \right)}}$$

d /  __________\
--\\/ x*sin(x) /
dx

$$\frac{d}{d x} \sqrt{x \sin{\left(x \right)}}$$

Преобразовать

Подробное решение

Заменим $u = x \sin{\left(x \right)}$ .
В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$
Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} x \sin{\left(x \right)}$ :
1. Применяем правило производной умножения:
  
  $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
  
  $f{\left(x \right)} = x$ ; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
  $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ ; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Производная синуса есть косинус:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  В результате: $x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$
В результате последовательности правил:

$\frac{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{2 \sqrt{x \sin{\left(x \right)}}}$

Ответ:

$\frac{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{2 \sqrt{x \sin{\left(x \right)}}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

  __________ /sin(x)   x*cos(x)\
\/ x*sin(x) *|------ + --------|
             \  2         2    /
--------------------------------
            x*sin(x)

$$\frac{\sqrt{x \sin{\left(x \right)}} \left(\frac{x \cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}\right)}{x \sin{\left(x \right)}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

             /                                                                                 2         \
  __________ |  x*sin(x)   x*cos(x) + sin(x)   (x*cos(x) + sin(x))*cos(x)   (x*cos(x) + sin(x))          |
\/ x*sin(x) *|- -------- - ----------------- - -------------------------- + -------------------- + cos(x)|
             \     2              2*x                   2*sin(x)                 4*x*sin(x)              /
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                 x*sin(x)

$$\frac{\sqrt{x \sin{\left(x \right)}} \left(- \frac{x \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{\left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(x \right)}} + \cos{\left(x \right)} + \frac{\left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)^{2}}{4 x \sin{\left(x \right)}} - \frac{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{2 x}\right)}{x \sin{\left(x \right)}}$$

Упростить

Третья производная [src]

             /                                                        2                                                                               2                      3                                                     2                                                      \
  __________ |          -2*cos(x) + x*sin(x)   x*cos(x) + sin(x)   cos (x)*(x*cos(x) + sin(x))   (-2*cos(x) + x*sin(x))*cos(x)   3*(x*cos(x) + sin(x))    (x*cos(x) + sin(x))    (x*cos(x) + sin(x))*cos(x)   3*(x*cos(x) + sin(x)) *cos(x)   3*(-2*cos(x) + x*sin(x))*(x*cos(x) + sin(x))|
\/ x*sin(x) *|-sin(x) + -------------------- + ----------------- + --------------------------- + ----------------------------- - ---------------------- + -------------------- + -------------------------- - ----------------------------- - --------------------------------------------|
             |                   x                      2                       2                            sin(x)                      2                       2    2                   x*sin(x)                            2                                4*x*sin(x)                 |
             \                                         x                     sin (x)                                                  4*x *sin(x)             8*x *sin (x)                                             4*x*sin (x)                                                        /
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                          x*sin(x)

$$\frac{\sqrt{x \sin{\left(x \right)}} \left(\frac{\left(x \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{\left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - \sin{\left(x \right)} - \frac{3 \left(x \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) \left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)}{4 x \sin{\left(x \right)}} + \frac{x \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}}{x} - \frac{3 \left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)}}{4 x \sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)}} + \frac{\left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)^{3}}{8 x^{2} \sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{3 \left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right)^{2}}{4 x^{2} \sin{\left(x \right)}} + \frac{x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)}{x \sin{\left(x \right)}}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная sqrt(x*sin(x))

График:

Кусочно-заданная:

Решение