Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- Производная неявно заданной функции
- Производная параметрической функции
- Частная производная функции
- Исследование функции по шагам
- Интеграл по шагам
- Дифференциальные уравнения по шагам
- Пределы по шагам
-
Как пользоваться?
- Производная:
- Производная sqrt(x)+1
- Производная (sin(4*x))^2
- Производная tan(3*x-pi/4)
- Производная x^15
-
Идентичные выражения
- sqrt((пять *x+ один)/(три *x^ два + один))
- квадратный корень из ((5 умножить на x плюс 1) делить на (3 умножить на x в квадрате плюс 1))
- квадратный корень из ((пять умножить на x плюс один) делить на (три умножить на x в степени два плюс один))
- √((5*x+1)/(3*x^2+1))
- sqrt((5*x+1)/(3*x2+1))
- sqrt5*x+1/3*x2+1
- sqrt((5*x+1)/(3*x²+1))
- sqrt((5*x+1)/(3*x в степени 2+1))
- sqrt((5x+1)/(3x^2+1))
- sqrt((5x+1)/(3x2+1))
- sqrt5x+1/3x2+1
- sqrt5x+1/3x^2+1
- sqrt((5*x+1) разделить на (3*x^2+1))
-
Похожие выражения
- sqrt((5*x-1)/(3*x^2+1))
- sqrt((5*x+1)/(3*x^2-1))
Производная sqrt((5*x+1)/(3*x^2+1))
Решение
Вы ввели
[src]
__________
/ 5*x + 1
/ --------
/ 2
\/ 3*x + 1
$$\sqrt{\frac{5 x + 1}{3 x^{2} + 1}}$$
/ __________\ d | / 5*x + 1 | --| / -------- | dx| / 2 | \\/ 3*x + 1 /
$$\frac{d}{d x} \sqrt{\frac{5 x + 1}{3 x^{2} + 1}}$$
Подробное решение
-
Заменим .
-
В силу правила, применим: получим
-
Затем примените цепочку правил. Умножим на :
-
Применим правило производной частного:
и .
Чтобы найти :
-
дифференцируем почленно:
-
Производная постоянной равна нулю.
-
Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
-
В силу правила, применим: получим
Таким образом, в результате:
-
В результате:
-
Чтобы найти :
-
дифференцируем почленно:
-
Производная постоянной равна нулю.
-
Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
-
В силу правила, применим: получим
Таким образом, в результате:
-
В результате:
-
Теперь применим правило производной деления:
-
В результате последовательности правил:
-
-
Теперь упростим:
Ответ:
Первая производная
[src]
_________
\/ 5*x + 1 / 2 \ / 5 3*x*(5*x + 1)\
-------------*\3*x + 1/*|------------ - -------------|
__________ | / 2 \ 2 |
/ 2 |2*\3*x + 1/ / 2 \ |
\/ 3*x + 1 \ \3*x + 1/ /
-------------------------------------------------------
5*x + 1
$$\frac{\frac{\sqrt{5 x + 1}}{\sqrt{3 x^{2} + 1}} \cdot \left(3 x^{2} + 1\right) \left(- \frac{3 x \left(5 x + 1\right)}{\left(3 x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{5}{2 \cdot \left(3 x^{2} + 1\right)}\right)}{5 x + 1}$$
Вторая производная
[src]
/ 2 \ / _________\
/ 6*x*(1 + 5*x)\ | 12*x *(1 + 5*x)| / 6*x*(1 + 5*x)\ | 5 6*x*\/ 1 + 5*x | / 6*x*(1 + 5*x)\
5*|-5 + -------------| 3*|1 + 15*x - ---------------| |-5 + -------------|*|- ----------- + ---------------| 3*x*|-5 + -------------|
| 2 | | 2 | | 2 | | _________ 2 | | 2 |
\ 1 + 3*x / \ 1 + 3*x / \ 1 + 3*x / \ \/ 1 + 5*x 1 + 3*x / \ 1 + 3*x /
---------------------- - ------------------------------ + ------------------------------------------------------ - ------------------------
3/2 / 2\ _________ 4*(1 + 5*x) / 2\ _________
2*(1 + 5*x) \1 + 3*x /*\/ 1 + 5*x \1 + 3*x /*\/ 1 + 5*x
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
__________
/ 2
\/ 1 + 3*x
$$\frac{\frac{\left(\frac{6 x \sqrt{5 x + 1}}{3 x^{2} + 1} - \frac{5}{\sqrt{5 x + 1}}\right) \left(\frac{6 x \left(5 x + 1\right)}{3 x^{2} + 1} - 5\right)}{4 \cdot \left(5 x + 1\right)} - \frac{3 x \left(\frac{6 x \left(5 x + 1\right)}{3 x^{2} + 1} - 5\right)}{\sqrt{5 x + 1} \cdot \left(3 x^{2} + 1\right)} - \frac{3 \left(- \frac{12 x^{2} \cdot \left(5 x + 1\right)}{3 x^{2} + 1} + 15 x + 1\right)}{\sqrt{5 x + 1} \cdot \left(3 x^{2} + 1\right)} + \frac{5 \cdot \left(\frac{6 x \left(5 x + 1\right)}{3 x^{2} + 1} - 5\right)}{2 \left(5 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}}{\sqrt{3 x^{2} + 1}}$$
Третья производная
[src]
/ 2 3 \ / _________ 2 _________ \
| 60*x 12*x*(1 + 5*x) 72*x *(1 + 5*x)| / _________\ / 6*x*(1 + 5*x)\ | 25 12*\/ 1 + 5*x 108*x *\/ 1 + 5*x 60*x | / 2 \ / 2 \ / _________\ / 2 \ / _________\
/ 6*x*(1 + 5*x)\ 9*|5 - -------- - -------------- + ---------------| / 6*x*(1 + 5*x)\ / 6*x*(1 + 5*x)\ | 5 6*x*\/ 1 + 5*x | |-5 + -------------|*|------------ + -------------- - ------------------ + ----------------------| | 12*x *(1 + 5*x)| | 12*x *(1 + 5*x)| 2 / 6*x*(1 + 5*x)\ / 6*x*(1 + 5*x)\ | 5 6*x*\/ 1 + 5*x | | 12*x *(1 + 5*x)| / 6*x*(1 + 5*x)\ | 5 6*x*\/ 1 + 5*x |
75*|-5 + -------------| | 2 2 2 | 3*|-5 + -------------| 5*|-5 + -------------|*|- ----------- + ---------------| | 2 | | 3/2 2 2 / 2\ _________| 45*|1 + 15*x - ---------------| 27*x*|1 + 15*x - ---------------| 9*x *|-5 + -------------| 15*x*|-5 + -------------| 3*|- ----------- + ---------------|*|1 + 15*x - ---------------| 3*x*|-5 + -------------|*|- ----------- + ---------------|
| 2 | | 1 + 3*x 1 + 3*x / 2\ | | 2 | | 2 | | _________ 2 | \ 1 + 3*x / |(1 + 5*x) 1 + 3*x / 2\ \1 + 3*x /*\/ 1 + 5*x | | 2 | | 2 | | 2 | | 2 | | _________ 2 | | 2 | | 2 | | _________ 2 |
\ 1 + 3*x / \ \1 + 3*x / / \ 1 + 3*x / \ 1 + 3*x / \ \/ 1 + 5*x 1 + 3*x / \ \1 + 3*x / / \ 1 + 3*x / \ 1 + 3*x / \ 1 + 3*x / \ 1 + 3*x / \ \/ 1 + 5*x 1 + 3*x / \ 1 + 3*x / \ 1 + 3*x / \ \/ 1 + 5*x 1 + 3*x /
- ----------------------- - --------------------------------------------------- - ---------------------- - -------------------------------------------------------- + -------------------------------------------------------------------------------------------------- + ------------------------------- - --------------------------------- + ------------------------- + ------------------------- + ---------------------------------------------------------------- + ----------------------------------------------------------
5/2 / 2\ _________ / 2\ _________ 2 8*(1 + 5*x) / 2\ 3/2 2 2 / 2\ 3/2 / 2\ / 2\
4*(1 + 5*x) \1 + 3*x /*\/ 1 + 5*x \1 + 3*x /*\/ 1 + 5*x 4*(1 + 5*x) 2*\1 + 3*x /*(1 + 5*x) / 2\ _________ / 2\ _________ \1 + 3*x /*(1 + 5*x) 2*\1 + 3*x /*(1 + 5*x) 2*\1 + 3*x /*(1 + 5*x)
\1 + 3*x / *\/ 1 + 5*x \1 + 3*x / *\/ 1 + 5*x
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
__________
/ 2
\/ 1 + 3*x
$$\frac{\frac{3 x \left(\frac{6 x \sqrt{5 x + 1}}{3 x^{2} + 1} - \frac{5}{\sqrt{5 x + 1}}\right) \left(\frac{6 x \left(5 x + 1\right)}{3 x^{2} + 1} - 5\right)}{2 \cdot \left(5 x + 1\right) \left(3 x^{2} + 1\right)} + \frac{\left(\frac{6 x \left(5 x + 1\right)}{3 x^{2} + 1} - 5\right) \left(- \frac{108 x^{2} \sqrt{5 x + 1}}{\left(3 x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{12 \sqrt{5 x + 1}}{3 x^{2} + 1} + \frac{60 x}{\sqrt{5 x + 1} \cdot \left(3 x^{2} + 1\right)} + \frac{25}{\left(5 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}\right)}{8 \cdot \left(5 x + 1\right)} + \frac{9 x^{2} \cdot \left(\frac{6 x \left(5 x + 1\right)}{3 x^{2} + 1} - 5\right)}{\sqrt{5 x + 1} \left(3 x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{3 \cdot \left(\frac{6 x \sqrt{5 x + 1}}{3 x^{2} + 1} - \frac{5}{\sqrt{5 x + 1}}\right) \left(- \frac{12 x^{2} \cdot \left(5 x + 1\right)}{3 x^{2} + 1} + 15 x + 1\right)}{2 \cdot \left(5 x + 1\right) \left(3 x^{2} + 1\right)} - \frac{5 \cdot \left(\frac{6 x \sqrt{5 x + 1}}{3 x^{2} + 1} - \frac{5}{\sqrt{5 x + 1}}\right) \left(\frac{6 x \left(5 x + 1\right)}{3 x^{2} + 1} - 5\right)}{4 \left(5 x + 1\right)^{2}} - \frac{27 x \left(- \frac{12 x^{2} \cdot \left(5 x + 1\right)}{3 x^{2} + 1} + 15 x + 1\right)}{\sqrt{5 x + 1} \left(3 x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{3 \cdot \left(\frac{6 x \left(5 x + 1\right)}{3 x^{2} + 1} - 5\right)}{\sqrt{5 x + 1} \cdot \left(3 x^{2} + 1\right)} - \frac{9 \cdot \left(\frac{72 x^{3} \cdot \left(5 x + 1\right)}{\left(3 x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{60 x^{2}}{3 x^{2} + 1} - \frac{12 x \left(5 x + 1\right)}{3 x^{2} + 1} + 5\right)}{\sqrt{5 x + 1} \cdot \left(3 x^{2} + 1\right)} + \frac{15 x \left(\frac{6 x \left(5 x + 1\right)}{3 x^{2} + 1} - 5\right)}{\left(5 x + 1\right)^{\frac{3}{2}} \cdot \left(3 x^{2} + 1\right)} + \frac{45 \left(- \frac{12 x^{2} \cdot \left(5 x + 1\right)}{3 x^{2} + 1} + 15 x + 1\right)}{2 \left(5 x + 1\right)^{\frac{3}{2}} \cdot \left(3 x^{2} + 1\right)} - \frac{75 \cdot \left(\frac{6 x \left(5 x + 1\right)}{3 x^{2} + 1} - 5\right)}{4 \left(5 x + 1\right)^{\frac{5}{2}}}}{\sqrt{3 x^{2} + 1}}$$
График