Производная cot(x)/tan(x)

Решение

Вы ввели [src]

cot(x)
------
tan(x)

$$\frac{\cot{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}$$

d /cot(x)\
--|------|
dx\tan(x)/

$$\frac{d}{d x} \frac{\cot{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применим правило производной частного:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}$ .

Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Есть несколько способов вычислить эту производную.
  Method #1
  1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
    
    $\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$
  2. Заменим $u = \tan{\left(x \right)}$ .
  3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$
  4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$ :
    1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
      
      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
    2. Применим правило производной частного:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      
      Теперь применим правило производной деления:
      
      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
    В результате последовательности правил:
    
    $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$
  Method #2
  1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
    
    $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$
  2. Применим правило производной частного:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ .
    
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
    Теперь применим правило производной деления:
    
    $\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$
Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
Теперь применим правило производной деления:

$\frac{- \frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cot{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}}{\tan^{2}{\left(x \right)}}$
Теперь упростим:

$- \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}$

Ответ:

$- \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

        2      /        2   \       
-1 - cot (x)   \-1 - tan (x)/*cot(x)
------------ + ---------------------
   tan(x)                2          
                      tan (x)

$$\frac{\left(- \tan^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \cot{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)}} + \frac{- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1}{\tan{\left(x \right)}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

  /                       /       2   \ /       2   \                 /            2   \       \
  |/       2   \          \1 + cot (x)/*\1 + tan (x)/   /       2   \ |     1 + tan (x)|       |
2*|\1 + cot (x)/*cot(x) + --------------------------- + \1 + tan (x)/*|-1 + -----------|*cot(x)|
  |                                  tan(x)                           |          2     |       |
  \                                                                   \       tan (x)  /       /
------------------------------------------------------------------------------------------------
                                             tan(x)

$$\frac{2 \left(\left(-1 + \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\tan^{2}{\left(x \right)}}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)} + \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)} + \frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\tan{\left(x \right)}}\right)}{\tan{\left(x \right)}}$$

Упростить

Третья производная [src]

   /                                                                                                                             /            2   \                                       \
   |                                                                                                 /       2   \ /       2   \ |     1 + tan (x)|                                       |
   |/                               2                  3\                                          3*\1 + cot (x)/*\1 + tan (x)/*|-1 + -----------|                                       |
   ||                  /       2   \      /       2   \ |          /       2   \ /         2   \                                 |          2     |     /       2   \ /       2   \       |
   ||         2      5*\1 + tan (x)/    3*\1 + tan (x)/ |          \1 + cot (x)/*\1 + 3*cot (x)/                                 \       tan (x)  /   3*\1 + cot (x)/*\1 + tan (x)/*cot(x)|
-2*||2 + 2*tan (x) - ---------------- + ----------------|*cot(x) + ----------------------------- + ------------------------------------------------ + ------------------------------------|
   ||                       2                  4        |                      tan(x)                                   tan(x)                                         2                  |
   \\                    tan (x)            tan (x)     /                                                                                                           tan (x)               /

$$- 2 \cdot \left(\frac{3 \left(-1 + \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\tan^{2}{\left(x \right)}}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\tan{\left(x \right)}} + \left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} - \frac{5 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\tan^{2}{\left(x \right)}} + 2 + \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{3}}{\tan^{4}{\left(x \right)}}\right) \cot{\left(x \right)} + \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)}}{\tan^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\tan{\left(x \right)}}\right)$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная cot(x)/tan(x)

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Method #1

Method #2