Производная cot(3*x^4)

1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

   Method #1

   1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      $\cot{\left(3 x^{4} \right)} = \frac{1}{\tan{\left(3 x^{4} \right)}}$

   2. Заменим $u = \tan{\left(3 x^{4} \right)}$.

   3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

   4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(3 x^{4} \right)}$:

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

         $\tan{\left(3 x^{4} \right)} = \frac{\sin{\left(3 x^{4} \right)}}{\cos{\left(3 x^{4} \right)}}$

      2. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x^{4} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x^{4} \right)}$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Заменим $u = 3 x^{4}$.

         2. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 3 x^{4}$:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x^{4}$ получим $4 x^{3}$

               Таким образом, в результате: $12 x^{3}$

            В результате последовательности правил:

            $12 x^{3} \cos{\left(3 x^{4} \right)}$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Заменим $u = 3 x^{4}$.

         2. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 3 x^{4}$:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x^{4}$ получим $4 x^{3}$

               Таким образом, в результате: $12 x^{3}$

            В результате последовательности правил:

            $- 12 x^{3} \sin{\left(3 x^{4} \right)}$

         Теперь применим правило производной деления:

         $\frac{12 x^{3} \sin^{2}{\left(3 x^{4} \right)} + 12 x^{3} \cos^{2}{\left(3 x^{4} \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x^{4} \right)}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{12 x^{3} \sin^{2}{\left(3 x^{4} \right)} + 12 x^{3} \cos^{2}{\left(3 x^{4} \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x^{4} \right)} \tan^{2}{\left(3 x^{4} \right)}}$

   Method #2

   1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      $\cot{\left(3 x^{4} \right)} = \frac{\cos{\left(3 x^{4} \right)}}{\sin{\left(3 x^{4} \right)}}$

   2. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x^{4} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x^{4} \right)}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = 3 x^{4}$.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 3 x^{4}$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x^{4}$ получим $4 x^{3}$

            Таким образом, в результате: $12 x^{3}$

         В результате последовательности правил:

         $- 12 x^{3} \sin{\left(3 x^{4} \right)}$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = 3 x^{4}$.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 3 x^{4}$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x^{4}$ получим $4 x^{3}$

            Таким образом, в результате: $12 x^{3}$

         В результате последовательности правил:

         $12 x^{3} \cos{\left(3 x^{4} \right)}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{- 12 x^{3} \sin^{2}{\left(3 x^{4} \right)} - 12 x^{3} \cos^{2}{\left(3 x^{4} \right)}}{\sin^{2}{\left(3 x^{4} \right)}}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{12 x^{3}}{\sin^{2}{\left(3 x^{4} \right)}}$

Ответ:

$- \frac{12 x^{3}}{\sin^{2}{\left(3 x^{4} \right)}}$