Производная cot(pi/3-x)

1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

   Method #1

   1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      $\cot{\left(- x + \frac{\pi}{3} \right)} = \frac{1}{\cot{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}}$

   2. Заменим $u = \cot{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}$.

   3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

   4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}$:

      1. Заменим $u = x + \frac{\pi}{6}$.

      2. $\frac{d}{d u} \cot{\left(u \right)} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left(u \right)}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x + \frac{\pi}{6}\right)$:

         1. дифференцируем $x + \frac{\pi}{6}$ почленно:

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            2. Производная постоянной $\frac{\pi}{6}$ равна нулю.

            В результате: $1$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{1}{\sin^{2}{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\sin^{2}{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} + \cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}}{\cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} \tan^{2}{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} \cot^{2}{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}}$

   Method #2

   1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      $\cot{\left(- x + \frac{\pi}{3} \right)} = \frac{\sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}}{\cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}}$

   2. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = x + \frac{\pi}{6}$.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x + \frac{\pi}{6}\right)$:

         1. дифференцируем $x + \frac{\pi}{6}$ почленно:

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            2. Производная постоянной $\frac{\pi}{6}$ равна нулю.

            В результате: $1$

         В результате последовательности правил:

         $\cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = x + \frac{\pi}{6}$.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x + \frac{\pi}{6}\right)$:

         1. дифференцируем $x + \frac{\pi}{6}$ почленно:

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            2. Производная постоянной $\frac{\pi}{6}$ равна нулю.

            В результате: $1$

         В результате последовательности правил:

         $- \sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{\sin^{2}{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} + \cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}}{\cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}}$

Ответ:

$\frac{1}{\cos^{2}{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}}$