Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Производная:
Производная 5^(x^4-32*x+45)
Производная (x-11)*e^12-x
Производная cos(3^x)
Производная e^7-x
Идентичные выражения
cot(четыре /(x^ два + один))
котангенс от (4 делить на (x в квадрате плюс 1))
котангенс от (четыре делить на (x в степени два плюс один))
cot(4/(x2+1))
cot4/x2+1
cot(4/(x²+1))
cot(4/(x в степени 2+1))
cot4/x^2+1
cot(4 разделить на (x^2+1))
Похожие выражения
cot(4/(x^2-1))

Производная функции/ cot(4/(x^2+1))

Производная cot(4/(x^2+1))

Решение

Вы ввели [src]

   /  4   \
cot|------|
   | 2    |
   \x  + 1/

$$\cot{\left(\frac{4}{x^{2} + 1} \right)}$$

d /   /  4   \\
--|cot|------||
dx|   | 2    ||
  \   \x  + 1//

$$\frac{d}{d x} \cot{\left(\frac{4}{x^{2} + 1} \right)}$$

Преобразовать

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить эту производную.
Method #1
1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
  
  $\cot{\left(\frac{4}{x^{2} + 1} \right)} = \frac{1}{\tan{\left(\frac{4}{x^{2} + 1} \right)}}$
2. Заменим $u = \tan{\left(\frac{4}{x^{2} + 1} \right)}$ .
3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$
4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{4}{x^{2} + 1} \right)}$ :
  1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
    
    $\tan{\left(\frac{4}{x^{2} + 1} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{4}{x^{2} + 1} \right)}}{\cos{\left(\frac{4}{x^{2} + 1} \right)}}$
  2. Применим правило производной частного:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{4}{x^{2} + 1} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{4}{x^{2} + 1} \right)}$ .
    
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Заменим $u = \frac{4}{x^{2} + 1}$ .
    2. Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{4}{x^{2} + 1}$ :
      
      Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      
      Заменим $u = x^{2} + 1$ .
      
      В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$
      
      Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 1\right)$ :
      
      дифференцируем $x^{2} + 1$ почленно:
      
      В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$
      
      Производная постоянной $1$ равна нулю.
      
      В результате: $2 x$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $- \frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$
      
      Таким образом, в результате: $- \frac{8 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $- \frac{8 x \cos{\left(\frac{4}{x^{2} + 1} \right)}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Заменим $u = \frac{4}{x^{2} + 1}$ .
    2. Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{4}{x^{2} + 1}$ :
      
      Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      
      Заменим $u = x^{2} + 1$ .
      
      В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$
      
      Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 1\right)$ :
      
      дифференцируем $x^{2} + 1$ почленно:
      
      В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$
      
      Производная постоянной $1$ равна нулю.
      
      В результате: $2 x$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $- \frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$
      
      Таким образом, в результате: $- \frac{8 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $\frac{8 x \sin{\left(\frac{4}{x^{2} + 1} \right)}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$
    Теперь применим правило производной деления:
    
    $\frac{- \frac{8 x \sin^{2}{\left(\frac{4}{x^{2} + 1} \right)}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{8 x \cos^{2}{\left(\frac{4}{x^{2} + 1} \right)}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}}{\cos^{2}{\left(\frac{4}{x^{2} + 1} \right)}}$
  В результате последовательности правил:
  
  $- \frac{- \frac{8 x \sin^{2}{\left(\frac{4}{x^{2} + 1} \right)}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{8 x \cos^{2}{\left(\frac{4}{x^{2} + 1} \right)}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}}{\cos^{2}{\left(\frac{4}{x^{2} + 1} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{4}{x^{2} + 1} \right)}}$
Method #2
1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
  
  $\cot{\left(\frac{4}{x^{2} + 1} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{4}{x^{2} + 1} \right)}}{\sin{\left(\frac{4}{x^{2} + 1} \right)}}$
2. Применим правило производной частного:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{4}{x^{2} + 1} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{4}{x^{2} + 1} \right)}$ .
  
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Заменим $u = \frac{4}{x^{2} + 1}$ .
  2. Производная косинус есть минус синус:
    
    $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{4}{x^{2} + 1}$ :
    1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      
      Заменим $u = x^{2} + 1$ .
      
      В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$
      
      Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 1\right)$ :
      
      дифференцируем $x^{2} + 1$ почленно:
      
      В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$
      
      Производная постоянной $1$ равна нулю.
      
      В результате: $2 x$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $- \frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$
      
      Таким образом, в результате: $- \frac{8 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$
    В результате последовательности правил:
    
    $\frac{8 x \sin{\left(\frac{4}{x^{2} + 1} \right)}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$
  Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Заменим $u = \frac{4}{x^{2} + 1}$ .
  2. Производная синуса есть косинус:
    
    $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{4}{x^{2} + 1}$ :
    1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      
      Заменим $u = x^{2} + 1$ .
      
      В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$
      
      Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 1\right)$ :
      
      дифференцируем $x^{2} + 1$ почленно:
      
      В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$
      
      Производная постоянной $1$ равна нулю.
      
      В результате: $2 x$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $- \frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$
      
      Таким образом, в результате: $- \frac{8 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$
    В результате последовательности правил:
    
    $- \frac{8 x \cos{\left(\frac{4}{x^{2} + 1} \right)}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$
  Теперь применим правило производной деления:
  
  $\frac{\frac{8 x \sin^{2}{\left(\frac{4}{x^{2} + 1} \right)}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{8 x \cos^{2}{\left(\frac{4}{x^{2} + 1} \right)}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}}{\sin^{2}{\left(\frac{4}{x^{2} + 1} \right)}}$
Теперь упростим:

$\frac{8 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} \sin^{2}{\left(\frac{4}{x^{2} + 1} \right)}}$

Ответ:

$\frac{8 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} \sin^{2}{\left(\frac{4}{x^{2} + 1} \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

     /        2/  4   \\
-8*x*|-1 - cot |------||
     |         | 2    ||
     \         \x  + 1//
------------------------
               2        
       / 2    \         
       \x  + 1/

$$- \frac{8 x \left(- \cot^{2}{\left(\frac{4}{x^{2} + 1} \right)} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

                     /                 2    /  4   \\
                     |             16*x *cot|------||
                     |        2             |     2||
  /       2/  4   \\ |     4*x              \1 + x /|
8*|1 + cot |------||*|1 - ------ + -----------------|
  |        |     2|| |         2               2    |
  \        \1 + x // |    1 + x        /     2\     |
                     \                 \1 + x /     /
-----------------------------------------------------
                              2                      
                      /     2\                       
                      \1 + x /

$$\frac{8 \left(\cot^{2}{\left(\frac{4}{x^{2} + 1} \right)} + 1\right) \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{16 x^{2} \cot{\left(\frac{4}{x^{2} + 1} \right)}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$

Упростить

Третья производная [src]

                        /                    /  4   \       2    /  4   \       2 /       2/  4   \\       2    2/  4   \\
                        |              12*cot|------|   48*x *cot|------|   32*x *|1 + cot |------||   64*x *cot |------||
                        |         2          |     2|            |     2|         |        |     2||             |     2||
     /       2/  4   \\ |      6*x           \1 + x /            \1 + x /         \        \1 + x //             \1 + x /|
32*x*|1 + cot |------||*|-3 + ------ + -------------- - ----------------- + ------------------------ + ------------------|
     |        |     2|| |          2            2                   2                      3                       3     |
     \        \1 + x // |     1 + x        1 + x            /     2\               /     2\                /     2\      |
                        \                                   \1 + x /               \1 + x /                \1 + x /      /
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                3                                                         
                                                        /     2\                                                          
                                                        \1 + x /

$$\frac{32 x \left(\cot^{2}{\left(\frac{4}{x^{2} + 1} \right)} + 1\right) \left(\frac{6 x^{2}}{x^{2} + 1} - \frac{48 x^{2} \cot{\left(\frac{4}{x^{2} + 1} \right)}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{64 x^{2} \cot^{2}{\left(\frac{4}{x^{2} + 1} \right)}}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}} + \frac{32 x^{2} \left(\cot^{2}{\left(\frac{4}{x^{2} + 1} \right)} + 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}} - 3 + \frac{12 \cot{\left(\frac{4}{x^{2} + 1} \right)}}{x^{2} + 1}\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная cot(4/(x^2+1))

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Method #1

Method #2