Производная log(5*x-3)/(2*x+7)

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \log{\left(5 x - 3 \right)}$ и $g{\left(x \right)} = 2 x + 7$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = 5 x - 3$.

   2. Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(5 x - 3\right)$:

      1. дифференцируем $5 x - 3$ почленно:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $5$

         2. Производная постоянной $\left(-1\right) 3$ равна нулю.

         В результате: $5$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{5}{5 x - 3}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $2 x + 7$ почленно:

      1. Производная постоянной $7$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $2$

      В результате: $2$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{\frac{5 \cdot \left(2 x + 7\right)}{5 x - 3} - 2 \log{\left(5 x - 3 \right)}}{\left(2 x + 7\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{10 x - 2 \cdot \left(5 x - 3\right) \log{\left(5 x - 3 \right)} + 35}{\left(2 x + 7\right)^{2} \cdot \left(5 x - 3\right)}$

Ответ:

$\frac{10 x - 2 \cdot \left(5 x - 3\right) \log{\left(5 x - 3 \right)} + 35}{\left(2 x + 7\right)^{2} \cdot \left(5 x - 3\right)}$