Производная (cos(x))^5*x+2

1. дифференцируем $x \cos^{5}{\left(x \right)} + 2$ почленно:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = \cos^{5}{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = \cos{\left(x \right)}$.

      2. В силу правила, применим: $u^{5}$ получим $5 u^{4}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}$:

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         В результате последовательности правил:

         $- 5 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}$

      $g{\left(x \right)} = x$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      В результате: $- 5 x \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} + \cos^{5}{\left(x \right)}$

   2. Производная постоянной $2$ равна нулю.

   В результате: $- 5 x \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} + \cos^{5}{\left(x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $\left(- 5 x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \cos^{4}{\left(x \right)}$

Ответ:

$\left(- 5 x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \cos^{4}{\left(x \right)}$