Производная cos(x/3)*cos(x/6)+sin(x/3)*sin(x/6)

1. дифференцируем $\sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \sin{\left(\frac{x}{6} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{6} \right)}$ почленно:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = \frac{x}{3}$.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{3}$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $\frac{1}{3}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$

      $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{6} \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = \frac{x}{6}$.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{6}$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $\frac{1}{6}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{6} \right)}}{6}$

      В результате: $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{6} \right)}}{3} - \frac{\sin{\left(\frac{x}{6} \right)} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{6}$

   2. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = \frac{x}{3}$.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{3}$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $\frac{1}{3}$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$

      $g{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{6} \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = \frac{x}{6}$.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{6}$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $\frac{1}{6}$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{\cos{\left(\frac{x}{6} \right)}}{6}$

      В результате: $\frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{6} \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(\frac{x}{6} \right)} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$

   В результате: $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{6} \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(\frac{x}{6} \right)} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{6}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{6} \right)}}{6}$

Ответ:

$- \frac{\sin{\left(\frac{x}{6} \right)}}{6}$