Господин Экзамен

Lang:

Производная cos(x/2+pi/4)

Вы ввели [src]

   /x   pi\
cos|- + --|
   \2   4 /

$$\cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$$

d /   /x   pi\\
--|cos|- + --||
dx\   \2   4 //

$$\frac{d}{d x} \cos{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$$

Преобразовать

Подробное решение

Заменим $u = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}$ .
Производная косинус есть минус синус:

$\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)$ :
1. дифференцируем $\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}$ почленно:
  1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
    1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
    Таким образом, в результате: $\frac{1}{2}$
  2. Производная постоянной $\frac{\pi}{4}$ равна нулю.
  В результате: $\frac{1}{2}$
В результате последовательности правил:

$- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}$
Теперь упростим:

$- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}$

Ответ:

$- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}$

График

Первая производная [src]

    /pi   x\ 
-sin|-- + -| 
    \4    2/ 
-------------
      2

$$- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}$$

Упростить

Вторая производная [src]

    /pi + 2*x\ 
-cos|--------| 
    \   4    / 
---------------
       4

$$- \frac{\cos{\left(\frac{2 x + \pi}{4} \right)}}{4}$$

Упростить

Третья производная [src]

   /pi + 2*x\
sin|--------|
   \   4    /
-------------
      8

$$\frac{\sin{\left(\frac{2 x + \pi}{4} \right)}}{8}$$

Упростить

График