Производная cos(x)/(2-sin(x))

Решение

Вы ввели [src]

  cos(x)  
----------
2 - sin(x)

$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{- \sin{\left(x \right)} + 2}$$

d /  cos(x)  \
--|----------|
dx\2 - sin(x)/

$$\frac{d}{d x} \frac{\cos{\left(x \right)}}{- \sin{\left(x \right)} + 2}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применим правило производной частного:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = 2 - \sin{\left(x \right)}$ .

Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Производная косинус есть минус синус:
  
  $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. дифференцируем $2 - \sin{\left(x \right)}$ почленно:
  1. Производная постоянной $2$ равна нулю.
  2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
    1. Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
    Таким образом, в результате: $- \cos{\left(x \right)}$
  В результате: $- \cos{\left(x \right)}$
Теперь применим правило производной деления:

$\frac{- \left(2 - \sin{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(2 - \sin{\left(x \right)}\right)^{2}}$
Теперь упростим:

$\frac{1 - 2 \sin{\left(x \right)}}{\left(\sin{\left(x \right)} - 2\right)^{2}}$

Ответ:

$\frac{1 - 2 \sin{\left(x \right)}}{\left(\sin{\left(x \right)} - 2\right)^{2}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

      2                   
   cos (x)        sin(x)  
------------- - ----------
            2   2 - sin(x)
(2 - sin(x))

$$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{- \sin{\left(x \right)} + 2} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(- \sin{\left(x \right)} + 2\right)^{2}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

/          2                           \       
|     2*cos (x)                        |       
|    ----------- + sin(x)              |       
|    -2 + sin(x)              2*sin(x) |       
|1 - -------------------- - -----------|*cos(x)
\        -2 + sin(x)        -2 + sin(x)/       
-----------------------------------------------
                  -2 + sin(x)

$$\frac{\left(1 - \frac{\sin{\left(x \right)} + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 2}}{\sin{\left(x \right)} - 2} - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 2}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 2}$$

Упростить

Третья производная [src]

                                /                          2      \                                  
                           2    |       6*sin(x)      6*cos (x)   |     /      2             \       
                        cos (x)*|-1 + ----------- + --------------|     | 2*cos (x)          |       
                2               |     -2 + sin(x)                2|   3*|----------- + sin(x)|*sin(x)
           3*cos (x)            \                   (-2 + sin(x)) /     \-2 + sin(x)         /       
-sin(x) - ----------- + ------------------------------------------- + -------------------------------
          -2 + sin(x)                   -2 + sin(x)                             -2 + sin(x)          
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
                                             -2 + sin(x)

$$\frac{\frac{\left(-1 + \frac{6 \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 2} + \frac{6 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(\sin{\left(x \right)} - 2\right)^{2}}\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 2} - \sin{\left(x \right)} + \frac{3 \left(\sin{\left(x \right)} + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 2}\right) \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 2} - \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 2}}{\sin{\left(x \right)} - 2}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная cos(x)/(2-sin(x))

График:

Кусочно-заданная:

Решение