Господин Экзамен

Lang:

Производная функции/ cos(t)*sin(t)

Производная cos(t)*sin(t)

Решение

Вы ввели [src]

cos(t)*sin(t)

$$\sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}$$

d                
--(cos(t)*sin(t))
dt

$$\frac{d}{d t} \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применяем правило производной умножения:

$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} g{\left(t \right)} = f{\left(t \right)} \frac{d}{d t} g{\left(t \right)} + g{\left(t \right)} \frac{d}{d t} f{\left(t \right)}$

$f{\left(t \right)} = \cos{\left(t \right)}$ ; найдём $\frac{d}{d t} f{\left(t \right)}$ :
1. Производная косинус есть минус синус:
  
  $\frac{d}{d t} \cos{\left(t \right)} = - \sin{\left(t \right)}$
$g{\left(t \right)} = \sin{\left(t \right)}$ ; найдём $\frac{d}{d t} g{\left(t \right)}$ :
1. Производная синуса есть косинус:
  
  $\frac{d}{d t} \sin{\left(t \right)} = \cos{\left(t \right)}$
В результате: $- \sin^{2}{\left(t \right)} + \cos^{2}{\left(t \right)}$
Теперь упростим:

$\cos{\left(2 t \right)}$

Ответ:

$\cos{\left(2 t \right)}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

   2         2   
cos (t) - sin (t)

$$- \sin^{2}{\left(t \right)} + \cos^{2}{\left(t \right)}$$

Упростить

Вторая производная [src]

-4*cos(t)*sin(t)

$$- 4 \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}$$

Упростить

Третья производная [src]

  /   2         2   \
4*\sin (t) - cos (t)/

$$4 \left(\sin^{2}{\left(t \right)} - \cos^{2}{\left(t \right)}\right)$$

Упростить

График

Производная cos(t)*sin(t)