Производная cos(5*x)*sin(3*x)+sin(5*x)*sin(3*x)-x

1. дифференцируем $- x + \sin{\left(3 x \right)} \sin{\left(5 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)}$ почленно:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = \cos{\left(5 x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = 5 x$.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 5 x$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $5$

         В результате последовательности правил:

         $- 5 \sin{\left(5 x \right)}$

      $g{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = 3 x$.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 3 x$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $3$

         В результате последовательности правил:

         $3 \cos{\left(3 x \right)}$

      В результате: $- 5 \sin{\left(3 x \right)} \sin{\left(5 x \right)} + 3 \cos{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)}$

   2. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = 5 x$.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 5 x$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $5$

         В результате последовательности правил:

         $5 \cos{\left(5 x \right)}$

      $g{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = 3 x$.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 3 x$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $3$

         В результате последовательности правил:

         $3 \cos{\left(3 x \right)}$

      В результате: $5 \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} + 3 \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}$

   3. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Таким образом, в результате: $-1$

   В результате: $- 5 \sin{\left(3 x \right)} \sin{\left(5 x \right)} + 5 \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} + 3 \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + 3 \cos{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} - 1$

2. Теперь упростим:

   $5 \sqrt{2} \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x + \frac{\pi}{4} \right)} + 3 \sqrt{2} \sin{\left(5 x + \frac{\pi}{4} \right)} \cos{\left(3 x \right)} - 1$

Ответ:

$5 \sqrt{2} \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x + \frac{\pi}{4} \right)} + 3 \sqrt{2} \sin{\left(5 x + \frac{\pi}{4} \right)} \cos{\left(3 x \right)} - 1$