Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Производная:
Производная 1/(x+1)
Производная x+(36/x)
Производная log((5*x-3)/(2*x+7))
Производная (3/x^2)+x^14
Идентичные выражения
cos(log(x)+ один -(один /x))*cot(tan(x))
косинус от ( логарифм от (x) плюс 1 минус (1 делить на x)) умножить на котангенс от ( тангенс от (x))
косинус от ( логарифм от (x) плюс один минус (один делить на x)) умножить на котангенс от ( тангенс от (x))
cos(log(x)+1-(1/x))cot(tan(x))
coslogx+1-1/xcottanx
cos(log(x)+1-(1 разделить на x))*cot(tan(x))
Похожие выражения
cos(log(x)-1-(1/x))*cot(tan(x))
cos(log(x)+1-1/x)*cot(tan(x))
cos(log(x)+1+(1/x))*cot(tan(x))

Производная функции/ cos(log(x)+1-(1/x))*cot(tan(x))

Производная cos(log(x)+1-(1/x))*cot(tan(x))

Решение

Вы ввели [src]

   /               1\            
cos|log(x) + 1 - 1*-|*cot(tan(x))
   \               x/

$$\cos{\left(\log{\left(x \right)} + 1 - 1 \cdot \frac{1}{x} \right)} \cot{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}$$

d /   /               1\            \
--|cos|log(x) + 1 - 1*-|*cot(tan(x))|
dx\   \               x/            /

$$\frac{d}{d x} \cos{\left(\log{\left(x \right)} + 1 - 1 \cdot \frac{1}{x} \right)} \cot{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применяем правило производной умножения:

$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

$f{\left(x \right)} = \cos{\left(\log{\left(x \right)} + 1 - 1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$ ; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Заменим $u = \log{\left(x \right)} + 1 - 1 \cdot \frac{1}{x}$ .
2. Производная косинус есть минус синус:
  
  $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(\log{\left(x \right)} + 1 - 1 \cdot \frac{1}{x}\right)$ :
  1. дифференцируем $\log{\left(x \right)} + 1 - 1 \cdot \frac{1}{x}$ почленно:
    1. Производная $\log{\left(x \right)}$ является $\frac{1}{x}$ .
    2. Производная постоянной $1$ равна нулю.
    3. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
      1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$
      Таким образом, в результате: $\frac{1}{x^{2}}$
    В результате: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$
  В результате последовательности правил:
  
  $- \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}\right) \sin{\left(\log{\left(x \right)} + 1 - 1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$
$g{\left(x \right)} = \cot{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}$ ; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Есть несколько способов вычислить эту производную.
  Method #1
  1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
    
    $\cot{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} = \frac{1}{\tan{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}$
  2. Заменим $u = \tan{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}$ .
  3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$
  4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}$ :
    1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
      
      $\tan{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} = \frac{\sin{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\cos{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}$
    2. Применим правило производной частного:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}$ .
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      Заменим $u = \tan{\left(x \right)}$ .
      
      Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
      
      Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$ :
      
      $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
      
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      Заменим $u = \tan{\left(x \right)}$ .
      
      Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
      
      Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$ :
      
      $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $- \frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
      
      Теперь применим правило производной деления:
      
      $\frac{\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cos^{2}{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}}{\cos^{2}{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}$
    В результате последовательности правил:
    
    $- \frac{\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cos^{2}{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}}{\cos^{2}{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} \tan^{2}{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}$
  Method #2
  1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
    
    $\cot{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} = \frac{\cos{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\sin{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}$
  2. Применим правило производной частного:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \cos{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}$ .
    
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Заменим $u = \tan{\left(x \right)}$ .
    2. Производная косинус есть минус синус:
      
      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$ :
      
      $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $- \frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Заменим $u = \tan{\left(x \right)}$ .
    2. Производная синуса есть косинус:
      
      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$ :
      
      $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
      
      В результате последовательности правил:
      
      $\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
    Теперь применим правило производной деления:
    
    $\frac{- \frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cos^{2}{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}}{\sin^{2}{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}$
В результате: $- \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}\right) \sin{\left(\log{\left(x \right)} + 1 - 1 \cdot \frac{1}{x} \right)} \cot{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} - \frac{\left(\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cos^{2}{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(\log{\left(x \right)} + 1 - 1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{\cos^{2}{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} \tan^{2}{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}$
Теперь упростим:

$- \frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)} + 1 - \frac{1}{x} \right)}}{\sin^{2}{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} + 1 - \frac{1}{x} \right)}}{x \tan{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}} - \frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} + 1 - \frac{1}{x} \right)}}{x^{2} \tan{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}$

Ответ:

$- \frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)} + 1 - \frac{1}{x} \right)}}{\sin^{2}{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} + 1 - \frac{1}{x} \right)}}{x \tan{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}} - \frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} + 1 - \frac{1}{x} \right)}}{x^{2} \tan{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

/       2   \ /        2        \    /               1\   /1   1 \                /               1\
\1 + tan (x)/*\-1 - cot (tan(x))/*cos|log(x) + 1 - 1*-| - |- + --|*cot(tan(x))*sin|log(x) + 1 - 1*-|
                                     \               x/   |x    2|                \               x/
                                                          \    x /

$$- \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}\right) \sin{\left(\log{\left(x \right)} + 1 - 1 \cdot \frac{1}{x} \right)} \cot{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} + \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(- \cot^{2}{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} - 1\right) \cos{\left(\log{\left(x \right)} + 1 - 1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$$

Упростить

Вторая производная [src]

  /       2                                                  \                                                                                                                                                                            
  |/    1\     /    1         \   /    2\    /    1         \|                                                                                                                /    1\ /       2        \ /       2   \    /    1         \
  ||1 + -| *cos|1 - - + log(x)| - |1 + -|*sin|1 - - + log(x)||*cot(tan(x))                                                                                                  2*|1 + -|*\1 + cot (tan(x))/*\1 + tan (x)/*sin|1 - - + log(x)|
  \\    x/     \    x         /   \    x/    \    x         //                 /       2        \ /       2   \ /          /       2   \            \    /    1         \     \    x/                                     \    x         /
- ------------------------------------------------------------------------ + 2*\1 + cot (tan(x))/*\1 + tan (x)/*\-tan(x) + \1 + tan (x)/*cot(tan(x))/*cos|1 - - + log(x)| + --------------------------------------------------------------
                                      2                                                                                                                  \    x         /                                 x                               
                                     x

$$2 \left(\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} - \tan{\left(x \right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \cos{\left(\log{\left(x \right)} + 1 - \frac{1}{x} \right)} + \frac{2 \cdot \left(1 + \frac{1}{x}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \sin{\left(\log{\left(x \right)} + 1 - \frac{1}{x} \right)}}{x} - \frac{\left(\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2} \cos{\left(\log{\left(x \right)} + 1 - \frac{1}{x} \right)} - \left(1 + \frac{2}{x}\right) \sin{\left(\log{\left(x \right)} + 1 - \frac{1}{x} \right)}\right) \cot{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{x^{2}}$$

Упростить

Третья производная [src]

/       3                                                                                            \                                                                                                                                                                                                                                    /       2                                                  \                                                                                                       
|/    1\     /    1         \     /    3\    /    1         \     /    1\ /    2\    /    1         \|                                                                                                                                                                                                   /       2        \ /       2   \ |/    1\     /    1         \   /    2\    /    1         \|     /    1\ /       2        \ /       2   \ /          /       2   \            \    /    1         \
||1 + -| *sin|1 - - + log(x)| - 2*|1 + -|*sin|1 - - + log(x)| + 3*|1 + -|*|1 + -|*cos|1 - - + log(x)||*cot(tan(x))                                      /                             2                                     2                                                  \                       3*\1 + cot (tan(x))/*\1 + tan (x)/*||1 + -| *cos|1 - - + log(x)| - |1 + -|*sin|1 - - + log(x)||   6*|1 + -|*\1 + cot (tan(x))/*\1 + tan (x)/*\-tan(x) + \1 + tan (x)/*cot(tan(x))/*sin|1 - - + log(x)|
\\    x/     \    x         /     \    x/    \    x         /     \    x/ \    x/    \    x         //                 /       2        \ /       2   \ |         2      /       2   \  /       2        \     /       2   \     2             /       2   \                   |    /    1         \                                      \\    x/     \    x         /   \    x/    \    x         //     \    x/                                                                           \    x         /
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ - 2*\1 + cot (tan(x))/*\1 + tan (x)/*\1 + 3*tan (x) + \1 + tan (x)/ *\1 + cot (tan(x))/ + 2*\1 + tan (x)/ *cot (tan(x)) - 6*\1 + tan (x)/*cot(tan(x))*tan(x)/*cos|1 - - + log(x)| + ----------------------------------------------------------------------------------------------- - ----------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                         3                                                                                                                                                                                                                          \    x         /                                                   2                                                                                                  x                                                  
                                                        x                                                                                                                                                                                                                                                                                             x

$$- 2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \left(2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \cot^{2}{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} + \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \left(\cot^{2}{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} + 1\right) - 6 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} \cot{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} + 3 \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(\log{\left(x \right)} + 1 - \frac{1}{x} \right)} - \frac{6 \cdot \left(1 + \frac{1}{x}\right) \left(\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} - \tan{\left(x \right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \sin{\left(\log{\left(x \right)} + 1 - \frac{1}{x} \right)}}{x} + \frac{3 \left(\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2} \cos{\left(\log{\left(x \right)} + 1 - \frac{1}{x} \right)} - \left(1 + \frac{2}{x}\right) \sin{\left(\log{\left(x \right)} + 1 - \frac{1}{x} \right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} + 1\right)}{x^{2}} + \frac{\left(\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{3} \sin{\left(\log{\left(x \right)} + 1 - \frac{1}{x} \right)} + 3 \cdot \left(1 + \frac{1}{x}\right) \left(1 + \frac{2}{x}\right) \cos{\left(\log{\left(x \right)} + 1 - \frac{1}{x} \right)} - 2 \cdot \left(1 + \frac{3}{x}\right) \sin{\left(\log{\left(x \right)} + 1 - \frac{1}{x} \right)}\right) \cot{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{x^{3}}$$

Упростить

График

Производная cos(log(x)+1-(1/x))*cot(tan(x))

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная cos(log(x)+1-(1/x))*cot(tan(x))

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Method #1

Method #2