Производная (e^x)*(sin(3*x)-3*cos(3*x))

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = e^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Производная $e^{x}$ само оно.

   $g{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)} - 3 \cos{\left(3 x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $\sin{\left(3 x \right)} - 3 \cos{\left(3 x \right)}$ почленно:

      1. Заменим $u = 3 x$.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 3 x$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $3$

         В результате последовательности правил:

         $3 \cos{\left(3 x \right)}$

      4. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. Заменим $u = 3 x$.

            2. Производная косинус есть минус синус:

               $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

            3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 3 x$:

               1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                  1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

                  Таким образом, в результате: $3$

               В результате последовательности правил:

               $- 3 \sin{\left(3 x \right)}$

            Таким образом, в результате: $- 9 \sin{\left(3 x \right)}$

         Таким образом, в результате: $9 \sin{\left(3 x \right)}$

      В результате: $9 \sin{\left(3 x \right)} + 3 \cos{\left(3 x \right)}$

   В результате: $\left(\sin{\left(3 x \right)} - 3 \cos{\left(3 x \right)}\right) e^{x} + \left(9 \sin{\left(3 x \right)} + 3 \cos{\left(3 x \right)}\right) e^{x}$

2. Теперь упростим:

   $10 e^{x} \sin{\left(3 x \right)}$

Ответ:

$10 e^{x} \sin{\left(3 x \right)}$